有向超图上的单纯复形涌现：自适应高阶网络何时可被单纯描述？
本研究探讨了定义在有向超图上的自适应高阶网络在何种条件下可被单纯复形描述。通过利用对称群表示论，将时变权重张量分解为对称、反对称及混合分量，并追踪其Frobenius范数以定义三种渐近状态。在对称或反对称极限下，研究证明了单纯复形的涌现与稳定性；在混合极限下，最小忠实对象是半单纯集。该工作为在自适应高阶系统中合理应用同调工具提供了严格条件。
2025-12-02 速览 · 数学
2025-12-02 共 24 条抓取，按综合热度排序
二维非零曲率Cayley-Klein代数的Witt型向量场实现
本文提出了多种具有非零曲率的二维Cayley-Klein代数的Witt型向量场实现。这些向量场的表达式涉及雅可比椭圆函数，其模量与从双正交向量集获得的相应矩阵表示中的参数直接相关。研究首先在模量值位于单位区间(0,1)内时获得实现，其中双正交性参数起着关键作用。随后，借助模变换，获得了涉及任意模量的实现。
拓扑递归的显式ABCD张量表达与算法实现
本研究为最经典的谱曲线类提供了ABCD张量的显式表达式，并讨论了拓扑递归的算法实现。这项工作通过明确关键数学对象，为理论物理和数学物理领域的研究者提供了更直接的计算工具，有望推动相关领域数值计算和理论验证的进展。
信息几何视角下的公平机制设计：实现等几率约束
本研究探讨了在无法直接获取敏感属性数据的情况下，如何设计满足等几率公平性约束的机制。代理通过处理与敏感属性相关的数据，生成一个表征，要求该表征在给定任务条件下与敏感属性条件独立。研究引入几何结构约束敏感属性与表征之间的相关性，并利用信息几何方法，在小阈值条件下将互信息近似并转化为可求解的二次规划问题。对于更一般的情况，则提出了基于矩阵最大奇异值的低复杂度下界。
Schwartz空间构造新进展：L-群表示下的函数空间理论
本文针对Braverman、Kazhdan和Ngô关于Schwartz空间的猜想取得重要突破。研究在非阿基米德局部域上成功构造了与L-群表示ρ相关的Schwartz空间𝒮_ρ(G(F))，并在阿基米德域上给出了近似构造。该空间具备傅里叶变换等关键性质，其证明方法本质上是谱理论的运用，推进了自守形式与表示论领域的基础理论。
分裂图的零空间结构及其代数刻画
本文研究了分裂图邻接矩阵的零空间性质，引入了决定团顶点是否出现在核特征向量支撑中的团核子空间概念。证明了该子空间至多一维，并给出了零度的分解公式 null(Sp) = null(R) + dim(Cker(Sp))，完全用二分邻接子矩阵 R 描述了分裂图的奇异性。通过摆动顶点分析了不平衡分裂图，刻画了其核支撑结构，并研究了 Tyshkevich 复合下的零空间行为，利用 Schur 补推导了行列式的闭式公式。
社会对流行病的反应可能遵循混沌动力学规律
本研究将经典的洛伦兹系统重新解释于社会流行病学背景中，模型由感知感染、社会传播行为和过去风险记忆之间的非线性相互作用驱动。分析表明，感知或行为的微小波动可能引发稳定、振荡和混沌集体响应之间的转变。社会对流行病的反应可能遵循内在的动力学规则，产生复杂的警惕、疲劳和重新关注模式，这反映了在真实疫情中观察到的不规则节奏。
纤维旋转数的显式公式及其在安德森模型中的应用
本文提出了一个关于纤维旋转数增量的显式公式，该公式适用于遍历变换下的一参数圆上循环族，并通过不变测度表达。作为应用，该公式为圆上随机动力系统的旋转数增量提供了基于平稳测度的表达式。对于与安德森模型相关的投影薛定谔循环，该结果建立了射影空间上平稳测度性质与相应算子族的积分态密度（IDS）之间的联系，从而为安德森模型中IDS的Hölder正则性提供了动力学证明。最后，作者证明了具有遍历背景的安德森模型的IDS必须是Hölder连续的。
严格凸射影几何中尖点全纯的完整刻画
本文对凸射影几何中严格凸尖点和圆尖点的全纯给出了完整的刻画。研究者构建了与每个严格凸或圆尖点相关的非最大秩广义尖点族，并扩展了广义尖点的定义以允许基本群是虚拟可解的，同时首次构造了基本群非虚拟幂零的此类例子。结合另一篇论文，该工作使得构建基本群为任意有限生成虚拟幂零群的严格凸尖点和广义尖点成为可能，并对相对Anosov表示理论产生了有趣的影响。
代数群作用在混合紧化空间上的推广及其在有理映射模空间的应用
本文研究了代数群在代数簇上的作用如何推广到由混合Berkovich空间构造的紧化空间上。作者刻画了作用良好定义的子集，并证明了该子集在群作用下的商空间同胚于商簇的紧化。特别地，将结果应用于有理映射空间Rat_d及其模空间M_d，推广了Favre和Gong的工作，并得到了一个边界由非阿基米德有理映射轨道构成的模空间紧化。该结果在非平凡赋值域上同样成立。
有理点逼近超曲面的新下界：非退化C^4超曲面的有理逼近研究
本研究在非退化C^4超曲面中刻画了有理二次曲面，并证明对于非有理二次曲面的超曲面，其附近有理点数量的下界得到了改进，提高了先前Beresnevich和Huang结果的灵敏度。方法基于动力学系统，应用Ratner定理于一参数幂幺子群，并研究了SL_n(Q)中实点集包含此类子群的代数子群。
LinUCB算法的统计推断：自适应采样下的渐近正态性证明
本研究证明了线性置信上界（LinUCB）算法在自适应采样下具有稳定性，其估计误差的极限分布满足渐近正态性，收敛速度为T^{-1/4}。通过精细分析特征协方差矩阵的特征值/向量行为，发现其可分解为锁定真实参数的一维方向与近似各向同性的主体部分。基于此建立的Wald型置信区间和假设检验不依赖于特征协方差矩阵，且比现有非渐近置信集更紧。数值模拟验证了理论结果。
模型论视角下的冯·诺依曼代数群作用与交叉积研究
本研究在作者先前工作的基础上，开启了W*-动力系统的模型论研究。文章为局部紧豪斯多夫群在冯·诺依曼代数上的连续保权群作用建立了公理化体系，并确保超积构造下群作用的连续性得以保持。基于Tomatsu定理，证明了连续超积与交叉积构造可交换。此外，研究还深入探讨了上述公理体系及交叉积表示的“可计算性”，展示了交叉积作为生成可计算表示的有力工具，特别关注了Murray和冯·诺依曼的群测度空间构造，从而建立了与可计算动力学及可计算测度论的有趣联系。
Schatten p-类理想中的半内积与角度研究
本文在 Giles 和 Lumer 提出的半内积空间框架下，研究了 p>1 时的 Schatten p-类理想。通过关联的半内积视角，探讨了 Birkhoff-James 正交性、p-平行性及其相关性质。研究引入了一种适用于该背景的新角度概念，推广并统一了赋范空间中现有的角度定义，深化了对 p-Schatten 类几何结构的理解，并为半内积空间中算子行为提供了新视角。
固定偏移素数相关性的结构障碍：梅林-拉普拉斯核方法
本文针对固定偏移h的素数相关性函数r_h(n)=Λ(n)Λ(n+h)，构建了梅林-拉普拉斯解析框架。该序列缺乏乘法结构、欧拉积和s=1处的奇点。研究发现，对于任意紧支撑的容许核W，其平滑偏移和S_{W,h}(N)在Re(s)>1半平面内存在绝对收敛的梅林表示，无需解析延拓。边界积分分析表明，其振荡部分会产生不可避免的N^{1+ε}(log N)^2项，导致无法分解为主导主项与更小误差项之和，从而揭示了固定偏移相关性主项提取的结构性障碍。
非周期非线性振荡器中的管破裂：理论与模拟
本研究探讨了受非周期参数强迫的非线性振荡器的长期行为。通过构建代数不变量，证明了在扩展相空间中，运动被限制在一个二维不变管中。核心贡献是推导出了一个显式的解析破裂准则，能够精确预测不变管失去正则性的时刻。该准则基于对不变量极坐标变换后所得三次方程判别式的分析，最终得到了一个紧凑的卡丹型表达式。数值模拟在广泛参数范围内验证了该解析预测的准确性，表明破裂时间是此类系统中无界行为起始的稳健且定量准确的指标。
基于无符号拉普拉斯谱半径的图偶因子存在性条件
该研究为连通偶阶图存在偶因子（每个顶点度数均为正偶数的支撑子图）建立了基于无符号拉普拉斯谱半径的充分条件。该谱条件与图的最小度δ相关，为判断图结构性质提供了新的谱图论工具。
基于残差加权更新的正算子迭代秩一分解方法
本文研究希尔伯特空间上正算子的迭代秩一分解方案，其核心是基于残差加权同余更新。每一步，算子沿选定单位向量压缩并保持正性，从而在正算子锥上定义单调动力系统。研究证明了相关残差可规范地分解为秩一项与极限正算子，并识别了该极限及精确的能量恒等式，该等式将初始算子与极限算子间的差异表达为秩一贡献的收敛级数。当迭代耗尽算子时，残差方向构成自然值域空间的Parseval框架，提供了一种无需谱演算即可构造Parseval框架的构造性方法。此外，通过涉及Moore-Penrose逆的内在归一化条件，研究解决了逆问题，刻画了由该动力学产生的具有秩一步骤的递减链。对于迹类算子，获得了标量能量恒等式，并证明了选定方向上温和的贪婪或稠密条件可保证耗尽。在再生核希尔伯特空间中的应用阐释了抽象结果。
Breuil's Lattice Conjecture for GL2(K) 在非分歧扩张下获证
本研究证明了在非分歧扩张K/Qp下，GL2(K)情形中Breuil的格猜想。在一定的泛型条件下，我们证明了由U(2)算术流形的完备上同调诱导的、位于局部代数型内的格，仅依赖于p上位置的Galois表示，且适用于相对于p较小的任意Hodge-Tate权。此外，证明了所有具有不可约余基座的局部代数型内格的修补模是循环的。关键突破包括GL2(OK)的模p表示的结构定理，以及参数化具有固定驯顺惯性类型和更高Hodge-Tate权的潜在晶体提升的通用框架Galois变形环的显式计算。
向量值函数的凸函数次梯度与Orlicz伪范数研究
本文探讨了多元凸函数可测次梯度的构造变体，并研究了如何利用方向导数刻画Δ₂条件。同时，深入分析了向量值函数Luxemburg与Orlicz伪范数的基本性质，为相关泛函分析理论提供了新的见解。
连续持久性景观：拓扑数据分析中向量化方法的新突破
本文针对大规模数据下持久性图呈现结构化渐近行为、传统向量化方法（如持久性景观）失效的问题，提出了一种新的向量化方法——连续持久性景观。该方法定义在一类特殊的Borel测度（q-驯服测度）上，能够涵盖持久性图及其弱极限。研究证明，该向量化方法在温和假设下是双射且L^1稳定的，原始测度可被唯一重构，从而为分析大型系统中的拓扑特征提供了更忠实、稳定且可逆的新工具。
随机连接模型中的强尖锐相变
本研究探讨了由泊松过程驱动的随机连接模型。在低于临界强度 t_T 时，证明了任意簇的指数矩有界，且簇直径呈指数级小。在平稳标记情形下，证明了 t_T 与不渗流的临界点 t_c 重合，并推导了渗流的平均场界限。这些结果推广了近期研究，即使在经典无标记情形下也更具一般性。证明部分基于随机单调性性质。
非交换Γ谱上的层理论与导出Γ几何
本文为非交换n元Γ半环建立了完整的几何与同调框架。作者构造了非交换Γ谱上的层与导出理论，定义了Zariski型拓扑与结构层，并引入了拟凝聚Γ层。通过建立局部-整体原理与证明非交换局部对偶定理，将导出函子Ext^Γ和Tor^Γ解释为该非交换Γ空间上的整体上同调不变量。研究进一步引入了导出非交换Γ叠谱与谱的dg-提升，给出了同调不变量的谱与动机解释。结构上的结果包括n元Γ框架下的Wedderburn-Artin型分解、半单n元Γ半环的导出Morita理论，以及原始Γ谱与导出范畴简单对象之间的对偶性。
新发现：用矩阵行列式计算偏序集的欧拉示性数
本文引入偏序集的“序补矩阵”，并证明其行列式等于偏序集约化欧拉示性数的相反数。这一简洁的线性代数公式，为通过组合结构的矩阵表示计算拓扑不变量提供了新工具。