局部序不变逻辑在有界度类上坍缩为一阶逻辑
本研究回答了Weinstein关于序不变逻辑表达能力的多个问题。核心结论是，在有限结构的有界度类上，局部序不变逻辑的表达能力坍缩为标准的一阶逻辑。同时，研究将ε-不变逻辑嵌入局部序不变逻辑，从而也证明了其在有界度类上坍缩为一阶逻辑，并为一般有限结构上的ε-不变逻辑提供了表达能力上界。
2025-12-03 速览 · 数学
2025-12-03 共 24 条抓取，按综合热度排序
原子集合逻辑：探索轨道有限计算模型的对称性理论
本研究深入探讨了基于原子集合的轨道有限计算模型，该模型允许在具有对称性的无限对象上进行计算。论文证明了在可数原子结构下，自同构群作为对称性是充分且表达力足够的，并揭示了某些不可数结构在对称性理论上与可数结构具有相似性。关键贡献在于建立了不同结构对称性理论等价性的判定条件，为轨道有限构造理论向更广泛结构扩展提供了理论基础。
为集合论中的内在乐观主义提供形式化基础
本文旨在为集合论中的“内在乐观主义”提供一种坚实的形式化表述。其核心是尝试为哥德尔的观点提供辩护，即现象学可以作为确立ZFC集合论新公理的一种方法，从而解决诸如连续统假设（CH）等独立命题的判定问题。这项工作试图在哲学基础与数学形式体系之间建立更稳固的桥梁。
基于渐逝平面波的Helmholtz问题连续Galerkin新方法
本研究提出了一种用于二维Helmholtz问题的新型Trefftz连续Galerkin方法，该方法基于渐逝平面波构建了一个全局协调的离散空间。该方法采用笛卡尔网格划分区域，基函数在整个计算域内连续、紧支，且在单元内可表示为渐逝平面波的简单线性组合，从而保持为Helmholtz方程的局部解。研究证明了该方法具有有界系数的稳定近似性，对解析解具有谱精度，且近似误差随离散参数呈指数衰减。数值结果证实了理论估计。
有限链环上单纯形码的权分布及其Gray映射像
本文研究了有限链环上线性码及其广义Gray映射像（称为R-线性码）的构造与性质。作者构建了链环R上的线性单纯形码及其对应的α型和β型R-线性单纯形码，并完整给出了这些码的基本参数，包括最小汉明距离和完全权分布。此外，论文还探讨了这些单纯形码关于Griesmer型界的优化性。该工作推广了素数幂模整数环上的线性码理论。
首个度量图上布朗运动模拟算法：实现超高速并行计算
本研究提出了首个在度量图上模拟布朗运动的实用算法，通过基于时间步分裂的Euler-Maruyama方法离散化对应的随机微分方程。该算法同样适用于度量图上的Langevin扩散，从而实现了度量图上的首次采样。研究提供了算法收敛所需时间步分裂次数的理论保证，并证明了模拟粒子的退出概率在时间步趋于零时收敛于底层随机微分方程的顶点-边跳跃概率。该算法高度可并行化，作者开发了定制的CUDA内核实现，在简单星形度量图上比使用PyTorch的GPU实现快约8000倍。
量子自旋系统中李-罗宾逊条件与弗雷歇拓扑的等价性研究
本研究针对无限扩展量子自旋系统的可观测量代数，定义了*-自同构的各种局域性概念并探讨其相互关系。核心发现是，由李-罗宾逊界导出的普遍局域性刻画，意味着但不完全等价于在几乎局域可观测量自然弗雷歇拓扑下的连续性。该弗雷歇拓扑是非交换施瓦茨空间的类比，这一结果深化了对量子多体系统动力学局域性的数学理解。
复几何新突破：ABC Massey积与全纯链环数的关联及其在卡拉比-丘三维流形构造中的应用
本研究在紧致凯勒流形上，建立了源于复解析圈的ABC Massey积与全纯链环数之间的深刻联系。这一理论关联使得作者能够构造出一族具有平凡典范丛的单连通射影三维流形，其上配备了非零的ABC Massey积。该工作为理解复几何中的高阶不变量与流形的拓扑、几何性质之间的关系提供了新的工具和视角。
概率对称性的投影极限及其在随机图极限中的应用
本研究将概率测度的投影极限与其对称群的直极限相耦合，证明了直极限群是投影极限概率测度的对称群。当投影系统代表同一无限空间中越来越大有限区域上的点过程时，在一定的良好性和一致性假设下，直极限群的扩展成为整个无限空间中投影极限点过程的对称群。该理论框架为随机图极限（如图子和图指数）提供了统一的“最短路径”推导方法，并能涵盖一大类平均度有界的随机图极限，为研究不同类型随机图的极限行为提供了通用工具。
仿射簇代数支配区域的结构确定
本研究确定了仿射型簇代数的支配区域。在多数重要情形下，该区域表现为一个线段，并给出了其显式描述。此项工作旨在为仿射型簇代数的所有点基分类，以及确定仿射情形下的所有theta函数提供关键工具。证明过程结合了双Cambrian扇、几乎正根模型等已知结果，并引入了一种新工具：对仿射型邻近种子（即g-向量扇边界附近种子）的详细刻画。
高维Fermat型偏微分差分方程组的整函数解研究
本研究探讨了高维空间中一类Fermat型非线性偏微分差分方程组有限阶整函数解的存在性与精确形式。该系统将经典的Fermat方程推广至多复变函数与差分算子结合的情形，并将前人关于二维复空间的结果扩展至任意m维复空间。研究通过分析不同正整数组合下解的结构，提供了若干示例以验证结果的适用性与精确性，推动了复分析与差分方程交叉领域的发展。
Fermat型偏微分差分方程的解研究
本文研究了Fermat型偏微分差分方程的非平凡整函数与亚纯函数解。该方程将经典的费马方程推广至多变量、包含偏导与位移的复杂情形。主要贡献在于将现有结果从二维复空间推广至任意高维，并解决了Xu和Wang提出的一个公开问题。研究提供了丰富的例子以阐明结论。
整函数与其线性微分平移多项式的唯一性问题研究
本文研究了整函数与其线性微分平移多项式的唯一性问题，获得了三个主要结果。这些结果在较大程度上改进并推广了Qi在2011年《波兰数学年刊》上的相关结论，为复分析领域的函数唯一性理论提供了新的见解。
三体问题中发现新型动力学结构：辛搅拌器揭示强拓扑不稳定性
研究团队为经典三体问题及其限制性版本构造了“辛搅拌器”这一动力学结构，并以此证明这两个模型均展现出一种鲁棒的、强烈的拓扑不稳定性。该结论不依赖于天体质量的微小性假设，仅要求至少有两个质量不同。核心贡献在于两个抽象定理，分别给出了圆柱上扭转映射对生成局部传递迭代函数系统的显式条件，以及将该结果推广至特定圆柱斜积系统的方法。
10个四面体定向双曲3-流形完整普查完成，揭示1849个最简单双曲纽结补
本研究将定向尖点双曲3-流形的完整普查扩展至10个四面体，新增150,730个流形及其496,638个极小理想三角剖分。应用发现439,898个例外Dehn填充，并识别出S^3中接下来1849个最简单的双曲纽结补空间。同时给出了包含闭完全测地曲面的最简单定向尖点双曲3-流形示例。
理想不可压缩磁流体中首次构造出挤压型奇点，解析性在自相交时丧失
本研究首次为具有自由边界的理想不可压缩等离子体-真空系统构造了“飞溅-挤压”奇点。当等离子体边界的两段弧光滑地自相交时，Sobolev范数保持有界，但解析性必然丧失。这与经典的“飞溅”奇点（解在自相交时刻前保持解析）形成对比。关键在于，被挤压的区域是真空而非等离子体，其中承载的磁场在交点处被无限阶压平，从而形成解析奇点。这为分析其他不可压缩流体模型中的挤压型奇点提供了新框架。
高维空间中的Eigen-Falconer定理推广与Erdős相似性猜想
本文研究了高维空间中的Erdős相似性猜想，推广了Eigen-Falconer定理。研究证明，对于满足极限条件（模长趋于零且相邻项模长比值趋于1）的任意非零向量序列A，总存在一个具有正勒贝格测度的可测集E，使得E不包含A的任何仿射副本。这一结果深化了对高维空间中点集几何结构的理解。
递增函数多重积分的可能值域刻画及其应用
本文研究了递增函数多重积分在端点处的可能取值问题。对于定义在[0,1]上的递增函数f，作者完整刻画了其一次、二次和三次积分在x=1处的取值(a, b, c)所必须满足的不等式条件。主要定理表明，当这些不等式严格成立时，存在一个满足端点值和导数约束的C∞递增函数实现这些积分值。该研究源于共单调逼近问题，并进一步探讨了Cⁿ函数在端点处导数值的可能集合。
基于奇异摄动的分布式时变覆盖控制算法
本文提出了一种新颖的动态覆盖控制算法，使机器人群体能够跟踪任意时变密度函数下的最优部署配置。该设计基于奇异摄动理论，采用双时间尺度分离方法，将快速时间尺度用于通信，慢速时间尺度用于智能体运动。算法在2跳Delaunay图上分布式实现，并在摄动参数足够小时达到与集中式算法相同的性能。研究还引入了三种仅依赖1跳通信的离散时间版本，并正式建立了其渐近收敛性。
素数短区间中的丢番图逼近新结果
本文研究了从短区间中选取的素数在无理数附近的分布问题。对于具有有界连分数展开的无理数（特别是二次无理数），作者证明了在特定参数范围内，满足逼近条件的素数个数具有渐近公式。该结果将素数分布与丢番图逼近理论相结合，深化了对两者关联的理解。
有限群的中心化子覆盖结构及其模p性质
本文研究了有限群被元素中心化子覆盖的问题。证明了在偏序关系下，极大中心化子集合和极小中心化子集合均构成群的覆盖。特别地，对于非阿贝尔p群这类F-群，证明了其非平凡中心化子的个数模p同余于1，揭示了这类群中心化子结构的数论性质。
PESO：基于子空间优化的LLM高效微调新框架
本文提出了一种参数高效微调（PEFT）的新视角——参数高效子空间优化（PESO）框架。该框架不仅统一了LoRA等现有方法，并将其与子空间优化的算法和理论基础相连接，揭示了子空间方法“探索-利用”的本质。PESO的关键贡献在于，它首次为低秩更新方法在完整参数空间上建立了收敛性保证，解决了LoRA变体缺乏理论保证的缺陷。基于此框架实例化的PESO-LoRA算法，在标准基准测试中显著优于现有方法。
有限矩阵幺半群的表示理论：Kovacs定理的显式单位元公式
本文研究了有限域上n×n矩阵乘法幺半群𝔐ₙ的复代数表示。核心贡献之一是给出了Kovacs定理中一个关键单位元的显式公式，该定理指出由秩不超过r的矩阵张成的双边理想存在单位元，此前该公式仅在少数特例中已知。此外，作者完整描述了该代数的单模，建立了诱导与限制规则，并利用有限一般线性群的表示论（基于Gurevich-Howe的Pieri规则）给出了任意模的分解方法。文中还建立了该代数的一个Schur-Weyl对偶版本。许多结果可推广至更一般的系数域。
无限维山道定理及其在非线性椭圆系统中的应用
本文建立了一个无限维临界点定理，推广了Rabinowitz的经典广义山道定理。作为应用，该定理被用于证明一类在二维欧氏空间中具有不定权重的半线性椭圆系统至少存在一个解。这项工作为处理无限维空间中的变分问题提供了新的理论工具。