离子束蚀刻表面校正的数学框架：从伪逆算子到再生核希尔伯特空间
本文针对离子束成形中的驻留时间计算问题，提出了一种求解特定类型反问题的数学框架。该问题可表述为线性算子方程，核心在于利用关联算子接近有限维的特性，采用伪逆算子求解。研究揭示了感兴趣区域内奇异向量行为接近函数 \(e^{ikx}\)，类似于无限深量子阱的本征函数。此外，文章提出了更贴近实际计算的替代方案，利用再生核希尔伯特空间和径向基函数对测量数据进行逐点逼近，进而确定驻留时间。这两种框架可根据具体问题特点单独或组合使用。
2025-12-09 速览 · 数学
2025-12-09 共 24 条抓取，按综合热度排序
正特征概形态射的形式非分歧性新判据
本文证明了对于正特征概形之间的态射，若其相对Frobenius态射是局部Noether概形的态射，则形式非分歧性（或形式平展性）等价于其Frobenius态射是闭浸入（或同构）。该结果为代数几何中形式性质的研究提供了基于Frobenius的简洁新判据，并讨论了非Noether情形。
半隐式变分推断的统一统计理论：从尾部普适性到Bernstein-von Mises定理
本文为半隐式变分推断（SIVI）建立了一个统一的“近似-优化-统计”理论框架。在近似层面，证明了在紧致L1普适性和温和尾部主导条件下，半隐式族在L1中稠密，可实现任意小的前向KL误差，并识别了导致全局近似失败的两种尖锐障碍及其修正方法。在优化层面，建立了有限样本Oracle不等式，证明了经验目标函数的Γ收敛性，从而保证了经验极大化估计的一致性、有限K替代偏差的定量控制及变分后验的稳定性。结合两者，首次给出了SIVI的端到端统计理论，精确刻画了其恢复目标分布的能力边界及架构与算法选择对渐近行为的影响。
统一最优控制中的熵正则化：通过迭代软策略和路径积分连接经典目标
本文通过Kullback-Leibler正则化视角，提出了一个统一框架来理解多种随机最优控制问题。该框架将策略和状态转移的KL惩罚分离并赋予独立权重，从而推广了常用的轨迹级KL正则化。研究表明，该广义公式不仅能生成经典随机最优控制、风险敏感控制及其策略正则化版本，而且这些“软策略”版本是原问题的上界，可通过迭代恢复原解。特别地，当风险寻求的软策略正则化权重一致时，问题具有线性贝尔曼方程、路径积分解和组合性等优良计算特性，将这些优势扩展到了更广泛的控制问题类别。
RationalFunctionApproximation.jl：Julia中离散与连续域的有理函数逼近工具
该论文介绍了RationalFunctionApproximation.jl软件包，它提供了目前已知最快的AAA和贪婪Thiele算法实现，也是唯一支持任意精度的实现。与多项式相比，有理函数能以根指数级收敛逼近具有极点或分支割的函数，且无龙格现象。结合ComplexRegions包，该工具能在复平面上的区间、圆或其他区域上，为多种函数生成紧凑而精确的表示。
面向近场宽带通信的RSMA混合波束聚焦设计
本文针对未来使用极大规模天线阵列的高频段无线网络，提出了一种基于速率分割多址（RSMA）的发射方案，以利用并缓解近场球面波前和空间宽带效应。方案采用基于真实时延（TTD）的混合波束聚焦架构来减轻空间宽带效应并降低射频链需求。通过联合优化频率相关模拟波束聚焦、频率无关模拟波束聚焦、数字波束聚焦和公共速率分配，以最大化最小速率。为解决这一复杂非凸问题，研究开发了一种基于惩罚的迭代算法，采用块坐标下降法交替优化变量块。仿真结果表明，该方案能有效补偿空间宽带效应，性能接近全数字波束聚焦但硬件复杂度更低，并显著优于其他基准方案。
椭圆曲线上二阶阿贝尔微分等周期形变与Boussinesq方程的联系
本研究探讨了亏格为一的黎曼曲面及其上二阶阿贝尔微分的形变，该形变保持微分关于选定典范同调基的周期不变，称为等周期形变。研究导出了一个具有有理系数的二阶常微分方程，用以刻画微分唯一极点在等周期形变下的位置变化。该方程的解与等周期形变相对应，并将此理论应用于Boussinesq方程的亏格为一解的研究中。
希尔伯特C*-模上幂等算子匹配投影的简化公式
本文在希尔伯特C*-模的框架下，为任意幂等算子Q的匹配投影m(Q)建立了一个简洁的显式表达式：m(Q) = (I + |Q*| - |I - Q*|) / 2。该公式仅涉及恒等算子I、Q的伴随算子Q*及其绝对值运算，极大地简化了匹配投影的计算与理论分析。基于此公式，研究者可以直接推导出m(Q)的一系列基本性质，为相关算子理论的研究提供了新的有力工具。
树图Albertson指数的新锐界：揭示度序列与不规则性的深层关联
本研究针对给定度序列的树图，提出了Albertson指数（衡量图不规则性的指标）新颖且精确的上下界。研究推导出包含顶点度数、边数及度序列平均值等复杂依赖关系的强不等式，精确刻画了该指数的最小与最大值。这些结果不仅改进了现有的极值界，还揭示了树图结构与不规则性度量之间的深刻联系，为图论中基于度数的拓扑指数研究提供了重要工具。
在弱元理论中构建合成代数几何模型
本研究展示了如何在满足特定可判定性条件的环上构建合成代数几何模型。该构造在元理论层面是构造性的，且证明论强度与带宇宙的依赖类型理论相当，为代数几何的形式化验证提供了新的理论基础。
几何视角下的二阶里奇孤立子研究
本文首次引入并系统研究了二阶里奇孤立子，即稳态双曲里奇孤立子。作者探讨了闭流形与紧流形上该结构的几何性质，分析了作为二阶孤立子的浸入子流形，并研究了其在扭曲积流形上的结构。
欧拉数与伯努利数的新关系：基于有序划分的组合解释
本文建立了伯努利数B_{2n}和欧拉数E_{2n}与两个递归函数K_b(n)和K_e(n)之间的精确等式关系。研究通过递归定义和组合公式，揭示了这些函数与正整数n的有序划分之间的深刻联系，为经典数论序列提供了新的组合视角和计算方法。
数字异常5÷2=2.5的丢番图分析及其在任意数基中的推广
本文系统研究了算术-数字异常现象（如5÷2=2.5）在任意数基下的推广。作者首先通过修改勾股数参数化方法，给出了解的近参数化表示，并找到了分子分母互质的所有解，同时构造了非互质的无穷族。其次，利用Baker定理的变体证明了每个数基下仅有有限个解。最后，在abc猜想成立的条件下，证明了对于每个k≥3，分子为k位数的解也仅有有限个，并对k=2的情况提出了猜想。
Polymorphic Numbers: 当指数运算产生数字拼接现象
本文系统研究了形如“5²=25”的数字现象，即运算结果等于指数直接拼接在底数左侧。作者将此类问题推广为数基下的丢番图方程与不等式，并利用牛顿-拉弗森法、算术-几何平均不等式、佩尔方程及费马小定理等工具，对解进行了分类和参数化，填补了该领域的研究空白。
连续 Bennati-Dragulescu-Yakovenko 模型：PDE 推导与长期行为
本研究将著名的离散 Bennati-Dragulescu-Yakovenko 财富交换模型推广至连续框架。通过准不变极限方法，从多智能体系统的动力学理论出发，严格推导出一个定义在半直线上的非线性 Fokker-Planck 方程，其漂移项包含边界值，并配有体现总人数与总财富守恒的非线性 Robin 型边界条件。研究证明了该方程解的存在唯一性，并证明其解在相对熵意义下收敛于唯一的稳态——玻尔兹曼-吉布斯（指数）分布。这项工作在离散随机动力学与连续确定性演化方程之间建立了桥梁，为财富交换研究提供了一个新颖且有影响力的 PDE 框架模型。
Johnson规则新突破：两机流水车间调度可在线性时间内求解
本研究重新审视了用于最小化两机流水车间调度问题完工时间的经典Johnson规则。尽管该规则最坏情况下的复杂度为O(n log n)，但研究发现，在实际应用中，当加工时间服从均匀分布时，可以线性时间检测并避免完全排序，从而在线性时间内计算出最优调度方案。计算测试表明，这一线性时间复杂度在标准基准实例中总是出现。
Classification of Associative Algebras Satisfying Quadratic Identities
This study provides a complete classification of associative algebras over a field K that are generated by a finite set and satisfy a quadratic polynomial identity of the form X² = aX + b. A key finding is that algebras satisfying X² = 0 over fields of characteristic not 2 are nilpotent of index 3. The results, validated computationally using the GAP system, offer new algebraic frameworks relevant to quantum mechanics for describing symmetries and operator algebras.
有限素Ω-代数的多项式恒等式决定同构
本文证明了一个关于有限素Ω-代数的重要定理：若两个定义在相同含幺交换环上的有限素Ω-代数满足相同的多项式恒等式集合，则它们必然同构。这一结果为通过代数不变量（多项式恒等式）来刻画和分类特定代数结构提供了坚实的理论基础。
数据驱动的网络系统同步：无需系统模型的同步控制
本文针对模型未知的同构线性时不变网络系统，提出了一种纯数据驱动的同步控制方法。研究仅需从单个节点系统采集无噪声的输入-状态数据，结合已知的网络拓扑结构，即可提供数据驱动的同步性充要条件。一旦条件满足，可直接从数据中计算出实现网络同步所需的反馈增益，无需依赖系统模型。该方法为模型未知的网络控制问题提供了新的解决方案。
K3曲面上有理曲线数量的周期性极值研究
本研究针对复K3曲面，确定了当曲面度2n足够大时，其上光滑有理d次曲线的最大数量。论文精确刻画了当nd为奇数且n相对于d足够大时，使Miyaoka上界达到极值的曲线构型，推进了对代数曲面有理曲线分布的理解。
三维可压缩Navier-Stokes方程流入流出边界条件的爆破准则
本研究针对具有一般流入流出边界条件的三维可压缩Navier-Stokes系统，建立了Lp-Lq框架下强解的爆破准则。核心结论是：若密度倒数、速度场以及密度梯度的某个适当范数保持有界，则解保持正则性，不会发生爆破。该准则特别处理了边界速度法向分量非零的情形，为相关流体动力学问题提供了新的分析工具。
群分次代数与二次余维增长的分类
本文研究了特征零域上有限群分次结合代数的多项式恒等式增长问题。作者证明了对于酉群分次代数，其多项式恒等式的余维序列要么多项式有界，要么指数增长。特别地，作者分类了具有二次余维增长的酉代数生成的簇，并证明这些簇可分解为生成极小群分次簇的代数的直和。
有限群分次对合代数的最小二次增长变种分类
本文研究了由有限群G分次并带有分次对合*的代数（(G,*)-代数）的余维数序列的渐近行为。通过将上三角矩阵代数的子代数作为关键工具，作者对由有限维(G,*)-代数生成的、具有二次增长的最小变种进行了完整分类。这项工作扩展了多项式增长代数变种的分类理论，为更一般的n^k增长分类提供了基础。
On the colength sequence of algebras with graded involution
arXiv:2512.06164v1 Announce Type: new Abstract: In recent years, many results have been established regarding classifications of varieties whose colength sequences are bounded by a fixed constant. In this work, we explore this theme in the setting of algebras endowed with a graded involution, called $(G,*)$-algebras. We give an explicit description of the decomposition of the $\langle n \rangle$-cocharacter for some important $(G,*)$-algebras $A$, for every $\langle n \rangle=(n_1, \ldots, n_{2t})$. For each algebra $A$, the $n$th colength is defined as the number of irreducible components that appear in these decompositions. Our aim is to classify varieties whose $n$th colengths are bounded by a fixed constant.