利用几何流证明Berezin-Li-Yau不等式的动力学方法
本研究提出了一种基于体积保持平均曲率流的动力学方法，用于证明尖锐的Berezin-Li-Yau不等式。通过建立边界谱密度与平均曲率之间的几何关联不等式，并证明Riesz均值沿该流单调非减，最终利用流收敛于球体这一性质，为所有光滑凸域建立了该不等式的尖锐形式。该方法还导出了一个关于特征值平均的尖锐动力学Cesàro-Pólya不等式。
2025-12-11 速览 · 数学
2025-12-11 共 24 条抓取，按综合热度排序
子域代数几何：将实代数几何推广至非实闭子域
本研究建立了一种新的数学理论，将经典的实代数几何推广到更一般的域扩张情形。当实闭域R包含一个有序子域K（如K为有理数域Q）时，研究者系统研究了R^n中由K系数多项式定义的K-代数集。与复代数几何不同，实情形下希尔伯特零点定理不再成立，导致新的几何现象。该理论为证明纳什-托格诺利定理的强化版本提供了基础：任何紧致光滑流形都可微分同胚于一个由有理数定义的非奇异代数集，首次实现了仅用有限精确数据对光滑流形的全局与局部编码。
Pólya-Hurwitz方法研究q-Hankel变换零点，放宽参数限制
本研究将经典的Pólya-Hurwitz部分分式方法推广到q-分析领域，用于研究由Jackson第三类q-Bessel函数定义的有限q-Hankel变换的零点分布。新方法作为原技术的q-对应物，显著放宽了先前结果中对参数q的严格限制条件。研究利用q-Hankel变换的q-型采样定理，直接导出了q-部分分式展开，并建立了多个实验示例验证方法的有效性。
BISTRO：一种结合低精度模型与信赖域的双精度随机梯度优化框架
本文提出BISTRO框架，用于解决不确定性下的高计算成本优化问题。该方法创新性地结合了低精度模型的曲率信息和随机空间的关联性，通过信赖域方法快速收敛至高精度模型的局部最优区域，再切换至方差缩减的随机梯度下降进行精细优化。理论分析保证了期望收敛性和最优的收敛速率。在基准问题和20维航天器再入案例中，BISTRO相比自适应采样和方差缩减方法，计算成本最高可降低29倍。
Cyqlone：面向最优控制的高性能并行线性求解器
本文介绍了Cyqlone，一种专为具有阶段式最优控制结构的线性系统设计的求解器。它通过统一顺序Riccati递归、并行Schur补方法和循环约简方法，在最小化浮点运算次数的同时，充分利用现代硬件的多级并行性。在足够并行资源下，求解时间随预测时域长度的对数增长，实现了长时域问题的实时求解。基于此开发的二次规划求解器CyQPALM，相比现有方案HPIPM获得了数量级的速度提升。
几何不变量与Monge-Ampère方程：纪念丘成桐75岁诞辰
本文为纪念丘成桐75岁诞辰的微分几何综述特辑而作。文章重点回顾了作者们近年来与Tong、Song、Sturm合作获得的一系列关于Monge-Ampère方程的新几何不等式与估计。这些成果本质上依赖于丘成桐解决卡拉比猜想的工作，该猜想本身也即将迎来50周年。文章同时简要概述了丘成桐近期开创的复几何多个前沿方向。
Steinhaus随机变量负矩的精确上界证明
本研究证明了独立Steinhaus随机变量（复平面上单位圆均匀分布）和的负矩的精确上界。结合König-Kwapień (2001)、Baernstein II-Culverhouse (2002)和König (2014)的系列工作，完整解决了Steinhaus和的L_p-L_2型Khinchin不等式的精确刻画。研究同时修正了早期论文中的错误，并提供了在Rényi熵精确界方面的应用。
代数曲线约化类型分类研究取得新进展
本文旨在对代数曲线的约化类型进行系统分类。约化类型捕捉了一维曲线族中纤维的离散不变量，此前已在亏格1、2和3的情形中得到描述。对于固定亏格g>1，约化类型构成有限多个族。研究解释了如何构造这些族，并引入了一种命名约定，为高亏格曲线的算术几何研究提供了新的工具和框架。
非匹配网格下混合维达西流动的后验误差估计
本研究将分层混合维椭圆方程的后验误差估计方法，从匹配网格推广至非匹配网格场景。核心创新在于引入了平面子域与界面网格间的转移网格，并构建了针对势变量与通量变量的稳定离散投影算子。所提出的非匹配网格误差估计器不仅完全可计算，且具有理论保证。基于三维裂隙多孔介质不可压缩达西流社区基准的数值实验表明，该估计器在非匹配网格上性能可靠，其有效性可与匹配网格下的估计器相媲美。
数值微分方法分类指南：从理论到实践
本文系统回顾了计算导数的各类数值方法，旨在帮助科学家和工程师根据具体问题选择最合适的算法。文章不仅比较了不同方法的相对优势和适用条件（如处理噪声、边界约束的能力），还阐述了其数学理论基础。为方便应用，作者同时提供了一个开源Python工具包PyNumDiff，集成了多种适用于噪声数据的微分算法。
向量值全纯与多重调和函数的Bohr定理：局部Banach空间理论方法
本研究利用局部Banach空间理论中的不变量，探讨了在复空间完全Reinhardt域上向量值全纯函数与算子值多重调和函数的Bohr定理。结果表明，相关的Bohr半径始终严格为正，并分别在有限维与无限维情形下获得了其渐近行为。该框架将经典的Minkowski空间情形作为特例包含在内，并适用于包括混合Minkowski空间、Lorentz空间和Orlicz空间在内的广泛Banach序列空间。此外，研究还建立了完全Reinhardt域上算子值多重调和映射的系数型Schwarz-Pick引理。
新型指数生成元代数：结构、自同构与表示理论
本文系统研究了一类由指数函数和幂函数系数微分算子生成的新型非交换代数——Weyl型和Witt型代数。核心贡献包括：建立了指数多项式环的自同构群结构；证明了有限伽罗瓦作用下的不动点子代数可恢复原始Weyl型代数；揭示了该代数不存在有限维单模；构建了完整的表示理论框架，包括不可约权模分类、具有BGG型分解的Harish-Chandra模构造，以及范畴O的结构分析。这些结果统一并扩展了经典Weyl代数、Witt代数和广义Weyl代数的理论。
SURA：无需修改结构的无源随机接入安全方案
本研究提出一种为无源随机接入（URA）引入安全性的新方法。该方法巧妙利用反馈辅助URA的固有特性，在不增加开销、不改变原有结构的前提下，通过物理层技术实现保密通信。每个用户利用基站广播的反馈信号生成私钥和人工噪声，对数据进行加密和掩蔽。仿真结果表明，该方案能在几乎不影响标准性能的情况下，为URA提供有效的安全保障。
高精度数值方法保持双曲系统不变域的研究综述
本文系统综述了双曲及相关系统中保持不变域的高阶数值方法。双曲系统的可容许状态构成凸不变域，数值计算中违反该域会导致双曲性丧失，引发数值不稳定。文章首先回顾了一阶精度格式中建立不变域保持性质的基本方法，涵盖有限差分、有限体积、有限元和残差分布法。重点聚焦于近十年发展起来的两类主流高阶IDP方法：一类基于寻求高阶格式的弱IDP性质，再设计多项式限制器在关注点强制强IDP性质，适用于高阶有限体积和间断伽辽金格式；另一类基于通量限制方法，源自通量校正传输法，可适配更广泛的离散格式，包括有限差分和连续有限元法。文中通过气体动力学和磁流体动力学的算例阐明了IDP格式的构造思想。
神经网络-有限元混合方法高效求解海冰粘塑性模型
本研究提出了一种结合神经网络与有限元法的混合方法，用于求解计算成本高昂的粘塑性海冰动力学模型。该方法利用神经网络在局部网格块上学习高分辨率模拟的细尺度修正，并将其应用于粗网格有限元近似中。数值实验表明，该方法能以约11倍的计算成本降低，获得与高分辨率模拟相近的精度，同时使牛顿求解器加速高达10%。
非厄米随机矩阵的Fisher-Hartwig渐近性及其在二维自由费米子中的应用
本研究证明了具有Fisher-Hartwig奇异性的二维Toeplitz行列式的渐近公式，并将其应用于具有复谱的随机正规矩阵。主要成果包括：证明了特征多项式在亚临界相中收敛于极限液滴上的高斯乘性混沌随机测度；电势逐点收敛于对数相关场；识别了其水平集（厚点）的测度；揭示了关联自由能经历冻结相变。这确立了二维自由费米子中刘维尔量子引力测度的涌现，并证明了其关于外势的普适性。
广义Robertson函数类的增长、畸变与Schwarzian范数估计
本研究聚焦于广义Robertson类函数（α-星形β阶函数）的几何性质。核心贡献在于，针对该类函数，精确推导了其Schwarzian导数和前Schwarzian导数的范数上界，这些界由函数的初始系数（特别是零初始系数这一重要情形）表达。同时，论文建立了该类函数的精确畸变定理与增长定理，并解决了其半径问题，确定了精确的凹性半径与凸性半径。
有限域上仿射代数集中不可约多项式的计数误差界
本文研究了有限域上系数位于固定仿射代数集中的首一不可约多项式的计数问题。通过建立误差界，精确刻画了此类多项式的数量与代数集几何结构之间的关系，为数论与代数几何的交叉研究提供了新的定量工具。
关于数值级数下界定理的注记：揭示形式证明背后的初等微积分本质
本文指出，发表于《数学分析与应用杂志》2026年的三项关于数值级数下界的定理，其现有证明过程仅为形式推导。作者通过初等微积分方法，为这些定理提供了更基础、更严谨的证明框架，揭示了其核心数学本质，简化了理解路径。
拟簇中的同余可换性自然蕴含“成为簇”
本文指出，对于拟簇而言，一个自然的同余可换性概念（即其所有代数上的同余关系都是可交换的）实际上蕴含了该拟簇本身就是一个簇（即由等式定义的代数类）。这一结论可直接从已有文献[3]中得出，本文旨在明确陈述这一事实，并提供一个极其简短的证明。
动态机动提示：一种基于实时反馈的车辆威胁规避新方法
本文提出了一种基于动态机动提示（DMC）的实时反应式车辆制导方法。该方法通过解析表达式计算车辆为规避动态威胁区域所需的最小转向量，以此量化风险，并可直接用于机载实时执行。研究将DMC约束应用于简单反馈控制器和模型预测控制器（MPC），后者性能更优但需在线求解优化问题。该方法可扩展至同时处理多个威胁区域，且计算复杂度增加极小，为对抗性威胁环境下的保守型碰撞规避提供了新思路。
加权图密度新度量：电导-电阻不等式与代数结构
本文研究带边电导的有限简单无向图，提出一种加权Nash-Williams密度函数A_c(G)。该函数在c≡1时退化为经典密度，具有同构不变、子图单调、正齐次和凸性等性质。作者证明了该密度的全局上下界，并引入局部变体，利用环境网络中的有效电阻推导出电导-电阻不等式。此外，研究揭示了该密度在边不相交并运算下的代数行为：它构成一个交换幂等幺半群，且A_c(G)关于该运算是幂等的。
事件触发极值搜索算法：基于混合系统与李括号平均化的稳定性分析
本文提出并分析了一类用于解决资源感知、无模型优化问题的事件触发极值搜索算法。通过利用混合系统李括号平均化的最新进展，研究证明了所提出的控制器可被表述为具有良好适定性的多时间尺度混合系统，并满足关键的正则性、稳定性和鲁棒性。算法通过引入低通滤波器并精心设计混合系统的流集与跳集，解决了探索与利用的内在耦合问题，使得最优解具有半全局实际渐近稳定性，且解具有一致的半全局驻留时间。研究还展示了如何修改事件触发方案以利用传统平均化工具进行分析。数值模拟验证了理论结果。
皮亚诺算术片段中的紧致性与坚固性研究取得新进展
本研究探讨了皮亚诺算术及其片段在模型论中的“紧致性”与“坚固性”等性质。研究证明，对于任意n，在IΣn与PA之间存在既是坚固的、又是紧致但不整洁的理论。这回答了Enayat关于PA是否存在真坚固子理论的问题，并进一步分离了与紧致性相关的不同性质。