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01-26 00:00
本文构建了Bureau-Guillot系统的广义化版本，即系数函数为Painlevé超越函数的一阶方程组。这些系统与相应的Painlevé方程相关联，并在正则化过程中作为正则化条件出现。所考虑的系统双有理等价于具有有理系数的Okamoto多项式哈密顿系统，因此具有Painlevé性质。该工作从两方面扩展了Bureau-Guillot的结果：一方面，考虑了次数大于2且无移动临界点的多项式系统，其系数不仅包含$\text{P}_{\text{I}}$和$\text{P}_{\text{II}}$超越函数，还包含$\text{P}_{\text{III}}$至$\text{P}_{\text{VI}}$及其导数；另一方面，探索了系数为Painlevé超越函数且双有理等价于Okamoto多项式系统的有理系统。此外，还提出了更简洁的变量变换方法以获得Bureau-Guillot系统的类似物，并讨论了包含混合情况的广义化：与方程$(\text{P}_{\text{J}})$相关的系统（$\text{J}=\text{I}, \dots, \text{VI}$）包含系数函数为$(\text{P}_{\text{K}})$的解（$\text{K}\neq \text{J}$），其中方程$(\text{P}_{\text{K}})$在正则化过程中作为正则化条件出现。
painlevé方程正则化条件双有理等价哈密顿系统超越函数系数
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01-26 00:00
本文提出了一种构造性算法，对于任意给定的实正交矩阵 $U$，能高效计算一个对角符号矩阵 $D$（元素为 $\pm1$），使得 $DU$ 的凯莱变换 $S = (I - DU)(I + DU)^{-1}$ 有定义且 $S$ 为斜对称矩阵。该算法复杂度为 $O(n^3)$，并给出了斜对称生成元 $S$ 的显式定量界。基于此表示 $U = D(I-S)(I+S)^{-1}$，可有效控制正交群上基于凯莱变换的优化方法中的奇异性问题。
正交矩阵凯莱变换构造算法优化方法矩阵表示数值计算
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01-26 00:00
本文为作用于 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 的广义 metalectic 算子建立了各向异性的不确定性原理，特别处理了与辛矩阵 $B$ 块具有非平凡核相关的退化情形。研究发现，不确定性现象本质上是方向性的，并被限制在由 $\mathrm{rank}(B)$ 给出的有效相空间维度内。研究首先证明了仅涉及 $\ker(B)^\perp$ 方向的尖锐海森堡-泡利-外尔型不等式，其明确下界用与底层辛变换相关的几何量表示。此外，研究完全刻画了所有极值函数，它们被证明是沿 $B$ 的零方向具有自由行为的偏高斯函数。基于此框架，研究将 Beurling-Hörmander 定理推广至 metaplectic 情形，为满足涉及函数及其 metaplectic 变换的特定指数可积性条件的函数，获得了精确的多项式-高斯结构。最后，研究证明了 metaplectic 算子的 Morgan 型不确定性原理，确定了分离平凡性与容许函数密度的尖锐阈值，并表明该阈值在 metaplectic 变换下保持不变。这些结果将经典的傅里叶情形和自由 metaplectic 变换作为特例包含在内，揭示了在存在辛退化时不确定性原理的几何与各向异性本质。
不确定性原理辛几何metaplectic算子各向异性分析量子力学基础
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01-26 00:00
本文提出了一种新颖的控制架构，用于最大化随机系统的可达-规避概率。该方法将马尔可夫决策过程（MDP）的灵活性与模型预测控制器（MPC）的可扩展性相结合。MPC负责跟踪参考信号，而MDP则通过在线优化更新参考信号来最大化概率目标。对于连续状态空间，该方法通过系统近似和动态规划计算最优反馈策略，并通过MPC的修改实现对近似误差的鲁棒化，从而保证可达-规避概率的界。该方法在一个受扰动的12D四旋翼模型上得到验证，证明了其灵活性和可扩展性。
随机控制模型预测控制马尔可夫决策过程动态规划可达性分析鲁棒控制
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01-26 00:00
本文研究了由独立随机等距变换生成的平面随机游走。当变换测度包含满足丢番图条件的无理旋转时，证明了在超多项式小尺度下的局部中心极限定理。若旋转满足进一步的代数条件，则可将尺度精细至 $\exp(-cN^{1/3}/(\log N)^2)$，这对于对称测度而言几乎是最优的。对于一类特殊的非对称测度，甚至可将尺度精细至 $\exp(-cN^{1/2})$。证明的关键在于将随机游走的精细尺度分布与单位圆上整系数多项式的取值问题联系起来。
随机游走局部极限定理等距变换精细尺度丢番图条件群论
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01-26 00:00
本文研究了与抛物莫比乌斯映射的非自治扰动相关的几类正交多项式。正交多项式自然地出现在莫比乌斯变换复合的研究中。作者的结果可被视为非自治抛物内爆的实例，其中包括一个几乎必然收敛的随机扰动机制。这项工作将复动力系统（math.ds）与复分析（math.cv）中的工具相结合，探讨了在扰动下系统的稳定性与收敛行为。
正交多项式莫比乌斯变换抛物内爆非自治系统复动力系统随机扰动
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01-26 00:00
本文推广了Thompson于1966年提出的关于Hermitian矩阵$(n-1)\times(n-1)$主子矩阵的第$j$大特征值之和的界，得到了更强的不等式。该推广源于一个更一般的结果：对具有实根多项式的广义导数零点给出了界。利用这些扩展的界，我们得到了$n\times n$ Hermitian矩阵所有$m\times m$主子矩阵特征值之间的优超关系，这些关系同时蕴含了著名的Schur优超定理和Szasz不等式。
hermitian矩阵特征值主子矩阵优超关系多项式零点
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01-26 00:00
本文在代数相理论（APT）框架下，发展了适用于缺陷与典范滤过可忠实代数实现的表示理论。核心应用是分析了Frobenius Heisenberg代数相，它占据APT图景中的一个刚性边界区域。研究证明，对于有限Frobenius环$R$，其关联的Heisenberg群$H_R$在固定非平凡中心特征下，每个中心忠实的表示都等价于一个典范的Schrödinger表示。该刚性定理的证明完全基于代数结构，不依赖于拓扑、酉性、傅里叶分析或半单性，刚性源于由缺陷和滤过支配的边界现象。Frobenius条件是尖锐的，它精确刻画了Heisenberg刚性在APT中得以保持的结构边界。
代数相理论表示理论heisenberg群frobenius环刚性定理滤过结构
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01-26 00:00
本文引入广义傅里叶比率（任意正交系统中系数的ℓ¹/ℓ²范数比）作为衡量“有效维度”的统一、基不变度量。研究证明：1）该比率小的函数可通过ℓ¹最小化从随机缺失样本中稳定恢复，推广了压缩感知理论；2）存在尖锐的“定位障碍”，试图在乘积空间子片上局部化恢复会迫使该比率以切片数的平方根因子膨胀；3）该参数同时控制了Kolmogorov率失真描述长度和统计查询维数等关键复杂度度量。这些结果将分析、算法和学习理论约束统一于单一复杂度参数之下。
傅里叶分析信号恢复复杂度度量压缩感知学习理论正交系统
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01-26 00:00
本文在代数相位理论框架下，从有限交换Frobenius环的Frobenius对偶性出发，无需预先假设希尔伯特空间、解析内积或外部强加的辛结构，直接导出了非退化相位配对、Weyl算子代数和量子稳定子码。研究表明，量子态空间是忠实相位作用的最小载体，稳定子码在Frobenius相位配对下被规范地识别为自正交子模。CSS型构造仅作为特殊的分裂情形出现，而一般的Frobenius环允许本质上的非CSS稳定子。基环中的幂零和挠结构产生了代数保护的量子层，这些层对可容许的Weyl型错误是不可见的。这些结果将量子稳定子理论置于代数相位理论之中：量子化作为代数相位诱导而非解析完备化出现，量子结构在代数相位关系层面即是信息完备的。
代数相位理论frobenius环量子稳定子码weyl算子代数量子化结构量子码
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01-26 00:00
本文在准一致和准模伪度量空间中，针对非对称结构（如准度量、准一致性和模空间）提出了新的连通性概念——反对称连通性与局部反对称连通性。通过建立与准模伪度量族相容的前向/后向模拓扑和准一致性，作者构建了规范的比特扑结构，并证明了局部反对称连通性在子空间、一致连续映射和双完备化下的稳定性。研究进一步将这一概念与Smyth完备性和Yoneda型完备性联系起来，并展示了在非对称完备性条件下，预紧性与紧致性的关系。
准一致空间准模空间反对称连通性比特扑结构非对称完备性
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01-26 00:00
本文推广了Hazewinkel与Koszul关于有限维李代数的经典对偶定理。证明了对于分次（或超）李代数，乃至更一般的微分分次李代数，其上同调与经过适当平移的扭曲同调之间存在同构关系，这是Poincaré对偶的李代数版本。核心在于计算了分次李代数g以其泛包络代数U(g)为系数的上同调，该上同调是一维的，并充当了g上同调的对偶化模。进一步，对于幺模分次李代数g，证明了U(g)的导出范畴具有Calabi-Yau结构。作为推论，对于有理同伦群全有限维的单连通拓扑空间，其有理∞局部系统范畴也具有Calabi-Yau结构，推广了椭圆空间的Poincaré对偶。
分次李代数poincaré对偶calabi-yau结构上同调泛包络代数导出范畴
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01-26 00:00
本文研究了离散β粒子排斥系综的宏观渐近行为，该模型是连续一维对数气体或随机矩阵理论中β系综的离散类比。研究证明了经验测度的大数定律和围绕平衡测度的大偏差原理。在固定填充分数下，建立了配分函数的渐近展开、线性统计量的累积量以及中心极限定理。当填充分数变化时，中心极限定理会受到一个随N振荡的离散高斯分量的扰动。研究结果应用于一大类域上均匀随机菱形铺砖的分析，验证了Kenyon-Okounkov猜想在可定向情况下的高斯自由场预测，并建立了非可定向情况下的修正版本。
离散β系综随机铺砖宏观渐近中心极限定理高斯自由场填充分数
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01-26 00:00
本文对两个涉及形式为 $H_{2k}$ 的调和数的新Apéry型级数给出了闭式解。通过推导几个关键结果，建立了与主级数的联系，为相关数论问题的精确计算提供了新工具。
数论级数求和闭式解调和数apéry型级数
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01-26 00:00
本文构造了一个定义在区间上的双对称、严格递增且对称的二元运算 $F$，但它不是连续的。这回答了一个关于双对称和均值型运算的自然问题，表明即使对于形如 $F(x,y)=f^{-1}\bigl(\alpha f(x)+\beta f(y)\bigr)$ 的非自反运算，连续性也可能失效，其中 $f$ 是区间与一个无处稠密的完美分形集之间的双射，且 $\alpha,\beta>0$，$\alpha+\beta\neq 1$。作为推论，还得到了一个非连续、结合、严格递增且对称的区间运算。研究将构造推广到多元情形，并证明了一个互补结果：如果一个对称、双对称、严格递增的运算在区间端点处是自反的，则它必须是连续的，并且在该区间上与一个拟算术均值一致。
双对称运算非连续运算严格单调拟算术均值分形集泛函方程
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01-26 00:00
PRIMES STEP是麻省理工学院自2015年设立的数学拓展项目，旨在指导中学生学习超越学校课程的高级数学主题，并开展团队研究项目。该项目通过独特的招生流程、互动式教学和团队协作模式，帮助学生完成可发表的研究成果。本文详细介绍了项目的历史、组织架构和教学方法，为数学教师和课外项目组织者提供了如何选择研究课题、激励学生并保持其参与度的实用建议。
数学教育课外拓展研究项目mit项目中学生培养
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01-26 00:00
本文在Lie理论与代数组合学的交叉领域建立了一个新的组合框架，核心是对Kostant游戏进行多顶点推广。原游戏用于生成正根系，在单链Dynkin图上具有唯一终止性。新游戏允许同时修改Dynkin图的多个顶点，其产生的配置与Weyl群关于抛物子群的商集W/W_J自然双射。该形式化方法被应用于代数几何问题，特别是通过Hilbert多项式处理Mukai猜想的情形，并为根计数问题、约化词语言的规则性及Young Tableaux的构造提供了新的组合视角。
kostant游戏weyl群dynkin图代数组合根系统抛物子群
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01-26 00:00
本文提出了代数相理论（APT），一个从基于相位的解析数据中提取内在代数结构的公理化框架。作者证明了从最小容许相位输入中可提取出配备函子性缺陷不变量的代数相位，并得到唯一确定的典范滤过。该滤过的有限终止性迫使结构边界的出现：任何与缺陷控制兼容的扩张都会产生新的复杂性层级。这些机制在具有非平凡Jacobson根的有限环上的二次相位乘法算子这一最小非平凡情形中得到验证，其中幂零相互作用产生了有限二次深度滤过，且没有更高次扩张与公理兼容。这确立了根二次相位是缺陷、滤过和边界现象内在发生的最小例子。
代数相理论结构边界典范滤过缺陷不变量jacobson根相位几何
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01-26 00:00
本研究建立了一个混合PDE-ODE模型，用于刻画实体瘤中易感与耐药表型的竞争、基质状态转换以及单剂量治疗药物的扩散与清除。模型揭示了空间异质性和治疗诱导的耐药生态位形成的机制。研究证明，单向（开环）传感仅能产生瞬态聚焦，而双向（闭环）反馈则能重塑有效迁移率，并产生明确的阈值，区分稳定均匀态、有限带模式（耐药生态位形成）和聚集态。
肿瘤建模趋化反馈空间异质性耐药生态位pde-ode模型模式形成
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01-26 00:00
本文研究了正则局部环中整闭的极大准素理想的Rees代数何时是Cohen-Macaulay正规域。在二维情形下该性质恒成立，但在高维情形下一般不再成立。作者证明了若干充分条件：若整闭理想包含一个长度为$d-2$的正则参数系（$d$为环的维数），或其极小生成元个数不超过$d+2$，则其Rees代数具有Cohen-Macaulay性与正规性。此外，文章还处理了由$d+3$个齐次多项式生成的零维整闭理想情形，并利用泛Bourbaki理想将结果推广至有限余长度的整闭无挠模。
交换代数rees代数整闭理想cohen-macaulay环正规环正则局部环
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01-26 00:00
移位图是Erdős和Hajnal于1964年提出的经典构造，是已知最简单的非递归、无三角形但色数可任意大的图族。本研究发现了一个令人惊讶的性质：对任意整数$k \geq 1$，最小的$k$色移位图中都包含一个唯一的$k$-顶点临界子图。研究给出了该子图的显式描述并证明了其唯一性，从而提供了一个新的、极其简单的无三角形顶点临界图族，其色数可以任意大。
图论移位图顶点临界图色数组合数学唯一性
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01-26 00:00
本文研究了归一化Hecke特征形式f的ℓ重积L函数（ℓ为≥3的奇数）的傅里叶系数序列$\lambda_{f \otimes \cdots \otimes_{\ell} f}(n)$。主要关注该系数在由固定判别式D的原始正定二元二次型Q所表示的稀疏整数集上的分布。作者建立了该系数求和函数的显式上界，其依赖于权、级和判别式。作为关键应用，给出了该序列在此设定下首次变号的界，并将其推广到判别式D的$h(D)$个形式所表示的整数中，证明了该界随类数增加而改进。
解析数论l函数hecke特征形式二次型系数分布符号变化
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01-26 00:00
本文推广了Cohen和Zemel关于对称群$S_n$不可约表示维数多项式公式的结果。原结论表明，对于划分$\lambda \vdash k$，对应划分$(n-k,\lambda) \vdash n$的$S_n$表示维数是$n$的$k$次多项式，其系数计数具有特定限制的标准杨表。本工作将该结果从维数推广到任意循环上的特征值计算，为对称群表示论提供了更精细的代数工具。
对称群特征值多项式表达式杨表组合表示论