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03-02 00:00
本文研究流形上实值函数的 Reeb 空间拓扑与组合性质。Reeb 空间由水平集的连通分支构成，是 Morse 函数理论中的核心工具。作者通过构造在稠密集上解析的显式函数，探讨其 Reeb 空间的图结构，并给出顶点的自然定义。研究揭示了 Reeb 空间在相当一般情形下可视为图，为流形拓扑分析提供了新视角。
reeb 空间解析函数拓扑学图结构流形
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03-02 00:00
本文构建了一个适用于一般拓扑空间输入的浅层与深度神经网络框架，该框架由一组连续特征映射和固定标量激活函数构成，并在欧几里得情形下退化为多层前馈网络。研究聚焦于网络的通用逼近性质，建立了在任意局部凸拓扑空间上，此类网络在连续向量值函数空间中稠密的一般条件。在无宽度约束时，所得普适性结果将经典逼近定理推广至非欧几里得设定。论文核心探讨了深度窄框架，即每层隐藏层宽度一致有界而深度可增长的情形，并确定了此类宽度受限的深度网络仍保持通用逼近能力的条件。作为一个具体实例，利用Ostrand对Kolmogorov叠加定理的扩展，为紧致度量空间的乘积导出了一个显式的普适性结果，其宽度界限由拓扑维数表达。
神经网络通用逼近拓扑空间深度窄网络非欧几里得函数逼近
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03-02 00:00
本文证明了在任何域上，约化Khovanov同调在保持分支的Conway突变下具有不变性。证明的关键在于利用作者先前工作中引入的、与Conway扭结相关的Khovanov多曲线不变量的强地理限制性质。通过应用同调镜像对称的思想，作者对该不变量的所有分支给出了完整的分类。
khovanov同调conway突变扭结不变量同调镜像对称多曲线不变量
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03-02 00:00
本研究提出了一种经典易感-感染-恢复（SIR）模型的扩展，通过引入少量额外仓室来捕捉疫情的空间传播效应。该模型旨在描述疾病在多个相互关联的城市或人口区域间的传播动态，同时避免了基于网络或基于个体方法常见的高维度和庞大参数集问题。其核心创新在于引入聚合变量来描述疫情在空间域不同区域的状态（未到达、活跃中或已消退），而非显式建模具体位置或流动网络。该公式化模型能够复现聚合发病率数据中观察到的关键定性特征，如由异步局部爆发引起的持续平台期和多波感染浪潮。最终系统由具有少量可解释参数的常微分方程构成，为理论分析和数值模拟提供了一个易于处理的框架。
空间流行病学sir模型聚合建模常微分方程异步爆发模型简化
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03-02 00:00
本文首次完整刻画了兼容性基础矩阵三元组构成的代数簇，通过计算其多重次数与多重齐次消失理想，解决了Bråtelund和Rydell提出的一个核心问题。研究发现了此前计算机视觉几何文献中已知代数约束集的不完备性，并揭示了一个简单四元约束集的关键作用。该四元约束与已知条件结合，可局部确定兼容性本质矩阵三元组簇，为广义兼容性簇的研究提供了新见解。
多射影几何基础矩阵本质矩阵代数簇计算机视觉消失理想
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03-02 00:00
本研究将经典香农熵扩展至双曲数平面$\mathbb{D}$，引入双曲概率值概念。通过双曲导数作用于生成函数$\sum_{s=1}^{N}{\rho}_{s}^{-\xi}$并令$\xi \to -1_{\mathbb{D}}$，建立了离散双曲概率分布$(\rho_{1}, \ldots,\rho_{N})$上的香农强双曲熵。核心贡献在于证明了该双曲熵扩展具有Lesche稳定性（实验鲁棒性），并进一步探讨了Rényi熵与双曲外熵的扩展结果。
双曲熵香农熵扩展lesche稳定性双曲概率信息论数学物理
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03-02 00:00
本文针对带有非线性乘性噪声的非局部随机反应扩散方程，证明了弱拉回平均随机吸引子的存在性。同时，对于具有随机初始数据的确定性非局部反应扩散方程，建立了其解以及弱拉回平均随机吸引子的存在唯一性。这些结果为研究具有非局部效应和随机扰动的复杂动力系统的长期行为提供了严格的数学框架。
随机动力系统反应扩散方程非局部方程随机吸引子乘性噪声
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03-02 00:00
本研究以五次多项式实根构型分类为基准，系统评估了多种机器学习模型。研究发现，神经网络仅凭原始系数即可达到84.3%的平衡准确率，而决策树仅为59.9%。然而，当提供显式的符号变化特征时，决策树性能与神经网络相当，并能生成明确的分类规则。知识蒸馏显示，该单一不变量解释了97.5%的决策结构。分布外、数据效率和噪声鲁棒性分析表明，神经网络学习的是决策边界的连续几何近似，而非尺度不变的符号规则。这一几何近似与符号不变性之间的区别，解释了模型间预测性能与可解释性之间的差距。结果表明，在所评估的结构化数学领域中，机器学习模型无法从原始系数中自主恢复离散的、人类可解释的数学规则，可解释性可能需要显式的结构归纳偏置。
可解释机器学习多项式根分类符号规则几何近似归纳偏置知识蒸馏
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03-02 00:00
本文证明了任意两个体积相等的满秩欧几里得晶格 $L, M$ 存在有界且勒贝格可测的公共基本域。证明直接应用可测霍尔定理，避免了以往证明中涉及的投影集中间结果。研究还表明，仅当 $ ext{vol}(L)= ext{vol}(M)$ 时，才可能存在有界的集合论公共基本域。
晶格理论基本域可测霍尔定理欧几里得空间等体积条件
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03-02 00:00
本文在极大 $L^p$-正则性框架下，研究了一类拟线性抛物型发展方程解的连续依赖性。对于形如 $\frac{d\phi}{dt} + A(t,\phi)\phi = f(t,\phi)$ 的方程，证明了强解对初值以及非线性算子 $A$ 和 $f$ 的逼近具有连续依赖性。关键步骤在于证明了算子 $A(t,\phi)$ 的极大正则性常数在相关 Banach 空间的紧子集上具有一致上界。作为应用，研究了一类具有 Carreau 型粘度的非牛顿流体模型，证明了当粘度中的非线性项趋于零且初值收敛时，其解收敛于经典 Navier-Stokes 方程的解。
拟线性方程连续依赖性极大正则性非牛顿流体navier-stokes方程抛物型方程
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03-02 00:00
本研究计算并分类了两种 Tambara-Yamagami 融合环推广的不可约非负整数矩阵（NIM-）表示，分别对应 Jordan-Larson 和 Galindo-Lentner-Möller 的研究。工作不仅完成了表示的完整分类，还探测了与这些 NIM-表示相关的代数对象，为理解相关融合范畴的表示论结构提供了新视角。
融合环nim-表示代数对象表示分类范畴论
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03-02 00:00
本文研究如何从含误差的采样过程 $X$ 中恢复置换群 $G \leq S_n$。模型将 $X$ 视为 $S_n$ 上的随机变量，定义为 $G$ 上均匀分布与 $S_n$ 上均匀分布的混合。作者开发了一套工具，能从 $X$ 中恢复 $G$ 的性质，并强化了恢复 $G$ 本身的主要方法。这些算法受到单值群数值计算的启发，该领域天然存在此类含误差的采样过程。
置换群恢复误差采样算法设计单值群组合数学概率模型
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03-02 00:00
本文针对传统单纯复形模型将顶点视为同质实体、忽略其内在属性对高阶相互作用（HoIs）影响的问题，提出了“组合元复形”模型。该模型包含两个交互组件：作为容许结构的底层单纯复形，以及为顶点分配浓度并基于阈值规则决定高阶单纯形实现与权重的浓度层。研究探讨了单纯形浓度如何影响HoIs的出现，并将真正的HoIs定义为同时满足组合容许性和浓度实现条件的相互作用。通过面介导的邻接关系，为非面单纯形定义了度和接近中心性，并引入了一个单参数中心性族，在纯结构连通性和浓度诱导耦合之间进行插值，为分析结构丰富的高阶网络提供了新框架。
高阶网络单纯复形组合元复形中心性浓度阈值图论
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03-02 00:00
本文研究了顶点坐标为整数的格点三角形，证明了除平凡情况外，其外心、重心和垂心不可能同时落在整数格点上。研究通过数论与几何方法的结合，揭示了格点三角形在经典欧氏几何中心性质上的限制，为离散几何中的格点结构提供了新的理论边界。
格点三角形几何中心整数坐标离散几何数论几何
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03-02 00:00
该研究扩展了Graham（1964）关于序列$S_t(\alpha) = (\lfloor t\alpha^n \rfloor)$完备性的经典结果。原工作仅处理了$0 < t < 1$且$1 < \alpha < 2$的情形，证明了当参数满足特定条件时，几乎所有大整数都能表示为该序列中不同元素之和。本文证明，Graham的方法可推广至更广泛的参数对$(t, \alpha)$，从而扩大了此类指数增长序列在加性数论中的完备性判定范围。
加性数论指数序列完备性graham问题整数表示
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03-02 00:00
本文引入了“meta-automatic序列”的概念，将Hofstadter Q序列等嵌套（meta-Fibonacci）递归与自动序列的基于数位的递归自然地结合起来。作者构造了不可“解嵌套”的meta-automatic序列$\mathcal{M}_{1}$和$\mathcal{M}_{2}$，证明了它们明确的DFAO（带输出的确定性有限自动机）求值，给出了4-均匀态射，并研究了这些序列的因子复杂度。这项工作为理解递归结构与自动性之间的关系提供了新的视角。
自动序列嵌套递归数论组合有限自动机均匀态射因子复杂度
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03-02 00:00
本研究针对维度 $D \geq 3$ 的能量临界非线性Ginzburg-Landau方程 $\partial_{t} u = z\Delta u + z|u|^{\frac{4}{D-2}} u$（其中 $\Re z > 0$）进行了分析。在径向对称的假设下，证明了任何具有有限能量范数的解，在时间演化中会连续地分解为有限个渐近解耦的基态孤立子副本与自由辐射的叠加。这一结果揭示了此类方程解的长期渐近行为模式。
非线性方程孤立子分解能量临界渐近行为径向对称ginzburg-landau方程
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03-02 00:00
本文研究了独立集与各类互可见集之间的关联。证明了图的每个外互可见集都是独立集当且仅当该图是距离边临界图。研究给出了构造距离边临界图的几种方法，并刻画了所有独立集都是全互可见集或对偶互可见集的图，以及所有全互可见集都是独立集的图。此外，确定了富勒烯衍生图的全互可见数，并讨论了所有独立集都是互可见集的图，在直径为4的图中完成了其刻画。研究还证明了确定独立互可见集的最大基数、判断其是否等于图的独立数等问题是NP难的，对独立全互可见集、外互可见集和对偶互可见集同样成立。
互可见集独立集距离边临界图图论np难问题富勒烯图
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03-02 00:00
本研究对确定性纸牌游戏《Beggar-My-Neighbour》进行了严格的数学与计算分析。通过建立形式化的状态空间框架，深入探究了游戏终止与非终止对局的二分现象。大规模数值模拟显示，有限对局时长的分布近似指数衰减，但存在相关偏差，证实了无记忆动力学的涌现。理论方面，研究解决了逆向确定性问题，并形式化了即使在可达状态集中“出牌函数”也缺乏单射性的特点。关键贡献在于，通过引入自动化的“无限循环工厂”算法，该算法采用自适应插入策略，有效识别了在平衡初始牌组配置下的非终止循环，从而在标准及广义游戏设定中证实了无限游戏的存在。
纸牌游戏动力系统无限循环状态空间计算模拟算法证明
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03-02 00:00
本文提出了一个广义随机梯度下降动量（SGDM）框架，统一了包括Polyak动量和Nesterov动量在内的多种动量方法。在温和的光滑性和有界方差假设下，为凸优化问题建立了常参数下的遍历收敛性，并推导了时变参数下改进的迭代收敛速率。对于非凸问题，证明了向平稳点的次线性收敛，并在满足Polyak–Łojasiewicz条件时，建立了向最优解邻域的线性收敛。该分析框架参数选择灵活，为多种现有动量方法提供了统一的收敛性保证。
随机优化动量方法收敛性分析机器学习凸优化非凸优化
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03-02 00:00
本文研究了非局部反应-扩散方程生成的多值半流的全局吸引子结构，该方程无法保证柯西问题的唯一性。首先，分析了稳态点的存在性与性质，证明该问题经历了与经典Chafee-Infante方程相同的分岔级联。其次，研究了不动点的稳定性，确立了半流是动态梯度的。证明了吸引子由稳态点及其异宿连接构成，并分析了一些可能的连接方式。
非局部方程全局吸引子分岔理论动态梯度系统异宿连接反应扩散方程
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03-02 00:00
本文研究了二维力学哈密顿量 $H(p,x)=\frac12|p|^2+V(x)$ 对应的有效哈密顿量 $\overline{H}$ 的极小能级集 $F_0$ 的边界几何结构。当位势 $V$ 在环面 $\mathbb{T}^2$ 上具有唯一最大值，且该点处的 Hessian 矩阵有两个不同的负特征值时，作者给出了 $\partial F_0$ 的显式、可验证的刻画。主要结论是：点 $p \in \partial F_0$ 不位于任何平坦边上的充要条件是 $\partial F_0$ 在 $p$ 处可微且其外法向为无理方向（可能除一对例外点 $\pm p_0$ 外）。由此得出平坦边在 $\partial F_0$ 上是稠密的，并通过构造实例表明例外点对可能出现，从而证明结果是精确的。
有效哈密顿量极小能级集几何结构哈密顿-雅可比方程稳定范数环面
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03-02 00:00
本研究提出了一种基于路径签名的数值方法，用于求解多维线性二次随机控制问题。通过证明线性签名泛函在容许控制类中的稠密性，该方法将原始随机优化问题转化为确定性凸二次多项式优化问题。理论分析表明，当截断水平足够高时，问题的值函数可通过有限维多项式逼近。数值实验显示，即使在小截断水平下也能获得较高精度。核心工具包括：受控随机微分方程的代数表示、成本函数作为驱动噪声路径签名线性泛函的构造、截断线性泛函的收敛性以及签名控制的稠密性。
随机控制路径签名线性二次型数值方法凸优化
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03-02 00:00
本研究针对第一类潘勒韦超越函数，提出了一种基于泰勒级数比值检验的奇点定位方法。通过分析复平面上的二阶非线性微分方程解，该方法能够有效估计极点、分支点和本性奇点的位置与阶数。这项工作延续了潘勒韦等人（1888-1915）对微分方程奇点模式的研究，为理解特殊函数的解析结构提供了新工具。
潘勒韦方程奇点分析复分析非线性微分方程特殊函数