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03-03 00:00
本文研究了具有共同噪声和异质智能体的无限时域平均场马尔可夫决策过程，不要求智能体可交换。作者提出了条件非交换平均场MDP的强表述和标签-状态表述，并证明两者等价于在标签与状态空间的乘积的Wasserstein概率测度空间上定义的标准MDP。核心贡献在于：1）将值函数刻画为该Wasserstein空间上特定贝尔曼算子的唯一不动点；2）在存在共同噪声的非交换设定下，对混沌传播进行了定量分析，通过比较有限N智能体系统与极限系统的贝尔曼算子，得到了尖锐的有限群体误差界，并显式构造了N智能体系统的近似最优策略。
平均场博弈马尔可夫决策过程共同噪声非交换性wasserstein空间混沌传播
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03-03 00:00
本文揭示了$G$-不变优化问题中对称性涌现的统一几何机制。通过将问题重构在商空间$Y = X \sslash G$上，研究发现物理域$L = \pi(X(\mathbb{R}))$是环境商空间$Y(\mathbb{R})$中一个度量上极其稀有的子集。对于对称群$S_n$，其实像$L$的体积以$e^{-Cn \log n}$的速度指数衰减。这解释了两种经验现象：I) 对称临界点成为常态，源于$L$的“空内部”迫使临界点落在具有非平凡稳定子的边界上；II) 全局最小值具有更高对称性，源于“主动约束”机制将梯度引导至$L$的尖锐角落，在物理系统中表现为漏斗状地形，最终截获下降流形于高对称性晶体结构。
不变优化对称性涌现商空间度量稀有性临界点几何机制
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03-03 00:00
本研究首次建立了无限维线性边界控制系统与其有限维数值近似之间的输入-状态稳定性（ISS）增益函数的严格联系。针对由解析半群主导的自洽演化系统，作者利用半群理论证明了ISS增益可以通过有限维近似进行计算。这一发现为无限维系统的稳定性分析提供了数值验证的桥梁，并以已知参考增益的一维狄利克雷边界控制热方程为例，展示了该方法的适用性。
输入-状态稳定性无限维系统有限维近似半群理论边界控制稳定性分析
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03-03 00:00
本文建立了加法幂等半环非有限基的两个充分条件，并应用于两个具体的四元加法幂等半环 $S_{(4,545)}$ 和 $S_{(4,634)}$，证明其恒等式没有有限基。进一步，证明了在半环簇格中，区间 $[\mathsf{V}(S_{(4,545)}),\mathsf{V}(S_{(4,634)})]$ 包含 $2^{\aleph_0}$ 个不同的簇，从而表明两个有限基加法幂等半环簇的并簇未必有限基。此外，得到了一个有限基加法幂等半环 $S$ 的最小例子，其通过添加新元素得到的扩张 $S^0$ 是非有限基的。
半环理论非有限基簇格加法幂等恒等式无限簇
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03-03 00:00
本文首次将仅依赖比较查询的对偶优化问题拓展到黎曼流形上，以解决现有欧氏空间算法无法覆盖的应用（如推荐系统、机器人学中的流形约束问题）。提出了黎曼对偶归一化梯度下降法（RDNGD），并证明了其在目标函数满足测地线L-光滑或（强）凸性时的迭代复杂度。同时，针对无法进行投影操作的情形，提出了无投影的黎曼对偶Frank-Wolfe方法（RDFW），并给出了其迭代与查询复杂度。数值实验验证了算法的有效性。
对偶优化黎曼流形梯度下降frank-wolfe复杂度分析无投影优化
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03-03 00:00
本文针对传统双层优化方法依赖下层函数强凸性或PL条件、在实际应用中受限的问题，提出了一个更通用且可解的框架。通过引入下层函数的一致凸性（指数 p≥2），作者建立了新的隐函数微分定理，刻画了超目标的光滑性质。基于此，他们设计了新的随机算法UniBiO，该算法利用随机梯度和Hessian-向量积信息，在寻找ε-稳定点时实现了$\widetilde{O}(\epsilon^{-5p+6})$的Oracle复杂度。理论分析表明，当p=2（强凸）时，该复杂度在ε依赖上达到最优（忽略对数因子）。实验在合成任务和数据超清洗上验证了算法的有效性。
双层优化一致凸性隐函数微分随机算法复杂度分析机器学习
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03-03 00:00
本文提出了一种迭代数据一致反演（DCI）的测度论框架，用于解决不确定性量化中的核心问题：寻找参数空间的概率测度，使其通过计算模型推前到多个观测数据集时，能同时匹配多个输出量的观测概率分布。研究首先严格证明了标准DCI解在满足单约束的所有回拉测度中最小化$f$-散度的理论最优性。基于此，提出的迭代DCI方案被证明收敛于多约束问题的解，该解最小化所有约束上的累积$f$-散度，且在均匀初始化下，是解集交上的最大熵解（I-投影）。方法通过包括高维偏微分方程参数空间在内的数值算例验证了其有效性，能稳健避免高维联合观测测度近似带来的复杂性。
不确定性量化数据一致反演概率测度推前约束f-散度最大熵
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03-03 00:00
本文研究了系数矩阵连续依赖于参数向量 $u \in \mathbb{C}^p$ 的矩阵多项式 $P_u(\lambda)$ 的稳定性。在首一（monic）假设下，证明了其谱、$\varepsilon$-伪谱、数值范围及联合数值范围作为集值映射关于参数 $u$ 是 Hölder 连续的。进一步，参数空间可分解为有限个解析半代数子流形的并，使得在每个子流形上，$P_u(\lambda)$ 的特征值和 Jordan 对解析依赖于 $u$。大部分结论在将首一性替换为首项系数矩阵 $A_d(u)$ 局部非奇异的条件下依然成立。
矩阵多项式谱扰动数值范围hölder连续性半代数几何
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03-03 00:00
本文研究了定义在p进数域上的神经网络。作者确定了在$L_q$范数和$C_1$范数下，能够以任意精度逼近定义在紧开子集上的连续$\mathbb{Q}_p$值函数的ReLU型p进神经网络所需的最小宽度。这是经典实数域上ReLU神经网络通用逼近理论在p进数域上的自然推广，为p进数据分析提供了理论基础。
p进神经网络通用逼近最小宽度relu函数p进分析
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03-03 00:00
本文给出了一个三角形同时内接于一个圆且外切于一个中心圆锥曲线（椭圆或双曲线）的充要条件的新证明。当圆锥曲线的焦点重合时，该条件退化为经典的Chapple-Euler关系。研究还证明，对于一个内接于圆且外切于中心圆锥曲线的庞斯莱三角形族，其三角形边长的平方和具有不变性，当且仅当该圆的圆心位于圆锥曲线的中心或其中一个焦点上。
几何学圆锥曲线庞斯莱三角形chapple-euler关系不变性
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03-03 00:00
该研究证明，通过测量多边形内部支撑分段解析刺猬的非中心截面长度，可以唯一确定多边形形状。对于中心对称多边形，则可通过测量支撑解析中心对称刺猬的板条面积进行重构。这些结果为几何重构问题提供了新的理论工具，将刺猬理论与截面测量相结合，拓展了已知的Minkowski问题框架。
几何重构多边形刺猬理论截面测量minkowski问题板条面积
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03-03 00:00
本文针对Hadamard流形上的优化问题，提出了一种新的Busemann混合投影邻近点算法。该方法利用凸Busemann函数定义的horosphere替代欧几里得超平面，通过函数梯度实现闭式投影，构建了一个无需切空间线性求解的几何内蕴方案。算法允许次梯度的不精确计算，并在不精确度严格小于1的相对误差水平下证明了全局收敛性。研究建立了Fejér型下降性质，并获得了与迭代次数平方根倒数成比例的次线性复杂度。精确变体与经典黎曼邻近点算法一致，该框架阐明了基于Busemann的次微分在非正曲率空间优化中的作用。
流形优化邻近点算法hadamard流形busemann函数非正曲率几何优化
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03-03 00:00
本文研究形式为 $c(s,o)=J(\iota_S(s)/\iota_O(o))$ 的比率诱导失配成本，其中 $\iota_S$ 和 $\iota_O$ 为正尺度映射，$J$ 为惩罚函数。在假设反演对称、严格凸性、归一化 $J(1)=0$ 以及满足乘法 d'Alembert 恒等式的条件下，证明了 $f(u):=1+J(e^u)$ 满足加法 d'Alembert 方程，从而导出 $J(x)=\cosh(a\log x)-1=\tfrac12(x^a+x^{-a})-1$（$a>0$）。进一步分析了可行尺度集上相关最小化映射的性质：在子空间闭性假设下的存在性、有限字典的几何平均决策边界、乘积模型的精确组合性，以及由几何平均（或其在对数空间中的投影）给出的最优序贯中介原理。
比率匹配互凸成本函数方程决策几何d'alembert方程优化理论
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03-03 00:00
Betke-Henk-Wills猜想提出凸体的格点计数$G(K, \Lambda)$可由其逐次极小值给出一个尖锐上界，但在$d \ge 5$维一般凸体上仍为开放问题。本文证明了该猜想在度量小扰动下的局部稳定性：对于正交平行多面体（盒子），在经历小旋转后，原不等式依然成立，并给出了依赖于长宽比与格点间隙的旋转角定量界。此外，研究将猜想有效性扩展至一类$L_p$球（$p$足够大），并导出了整数包络稳定性的尖锐阈值$p_0$。
格点计数凸几何稳定性分析逐次极小lp球整数包络
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03-03 00:00
本研究针对亚共振单频谐波激励下的无阻尼欧拉-伯努利框架结构，提出了最小重量设计方法。重点考虑了具有椭圆载荷不确定性的（鲁棒）动态柔顺度和（鲁棒）峰值输入功率。研究开发了鲁棒动态柔顺度的半定规划重构，并证明了其与鲁棒峰值输入功率的等价性。结果表明，这两种响应度量均可精确重构为具有与设计无关的质量增广的自由振动特征值约束，从而统一了静态、动态和模态要求。尽管对横截面积存在非凸多项式依赖，但通过半定松弛的矩-平方和层次结构，获得了全局最小化器的认证边界。在10段和35段框架上的基准研究验证了理论。对于10段问题，获得了全局最优解；对于35段框架，找到了高质量的局部最优设计，显著改进了已知最佳设计。研究还进一步制造并实验验证了一个与模型预测高度匹配的附加设计。
结构优化鲁棒设计动态柔顺度半定规划特征值约束框架结构
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03-03 00:00
本文研究了镜像下降算法在目标函数为相对强凸但非光滑优化问题中的应用，突破了传统分析中依赖Lipschitz连续性的限制。作者提供了精确与不精确次梯度信息下的收敛性分析，并推导出近似解质量的界。数值实验表明，新方法在特定问题上的估计优于现有文献结果，为处理更广泛的非光滑优化问题提供了理论工具。
镜像下降法相对强凸非光滑优化收敛分析次梯度
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03-03 00:00
本研究在正二十面体上形式化定义了一个由十个三角形面构成的翼集，其顶点标记为N、S、U1-U5、L1-L5，旋转轴为NS。每个翼面均为一个36-36-108的等腰三角形，其36度角锚定在一个极点（N或S）。这些面可以共享顶点，但互不共享边。一个自然的赤道横截面产生了一个完美平衡的正十边形。我们推导出该十边形半径的闭合形式：$R = \frac{\phi}{2} \ell$，其中$\ell$是二十面体的边长，$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$是黄金比例。该十面闭合结构可解释为一种极点锚定翼布局的对称一致性设计原则。
几何构造正二十面体黄金比例对称性十边形非共边面
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03-03 00:00
本文提出了一种基于牛顿法的实用算法，用于计算任意尺寸四元数矩阵的左特征值。该方法通过嵌入技术，仅需调用标准的实数/复数线性代数核心程序即可实现。在文献案例和基准测试集上的大量实验表明，该算法可对高达64×64的矩阵进行可重复、基于验证的计算，并能检测多重球面分量以及超过n个孤立左特征值、左谱亏缺等非一般性现象。
四元数矩阵左特征值牛顿法数值线性代数谱理论
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03-03 00:00
本研究将经典的德萨格定理与帕普斯六边形定理，从恒定曲率的经典几何（如欧氏几何、球面几何）推广到了具有非恒定曲率的Thurston几何中的平移曲面上。研究基于作者先前对Menelaus和Ceva定理的推广工作，并利用了Thurston几何的统一射影模型。这一成果表明，这些在射影几何中具有基础地位的组合定理，其有效性可以超越恒定曲率的限制，拓展到更广泛的几何结构之中。
射影几何thurston几何德萨格定理帕普斯定理非恒定曲率平移曲面
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03-03 00:00
本文证明了对于平面上任意有限测度的可测集M，沿Kakutani-Fibonacci方向序列进行连续的Steiner对称化操作，最终会收敛到以原点为中心、具有相同测度的圆盘M*。该结果将经典的Steiner对称化收敛理论推广到特定的非周期性方向序列，为几何测度论和等周不等式研究提供了新的工具。
steiner对称化kakutani-fibonacci序列几何测度论等周问题平面几何
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03-03 00:00
针对传统多准则决策（MCDM）方法在处理大量备选方案时结果易偏倚，以及数据包络分析（DEA）、随机前沿分析（SFA）等效率分析（EA）方法因依赖理论假设而导致解不完整的问题，本文提出了一种集成虚拟差距分析（VGA）模型的新方法。VGA模型基于线性规划，无需预设假设，通过评估各决策单元（DMU）相对于最佳实践的虚拟差距来识别其效率（得分≥1为有效，<1为无效），并为每个DMU确定可达的投入产出基准。该方法还结合现有MCDM技术对少数有效DMU进行深入分析，大幅降低了最优决策单元的筛选成本。
多准则决策效率分析虚拟差距分析线性规划决策单元基准识别
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03-03 00:00
本文提出并求解了广义Heron-Waist问题，该问题融合了经典的Heron最优枢纽选址问题与最小周长配置的Waist问题。模型旨在寻找一条最优的加权闭合多边形链，其顶点位于给定的非空闭凸集中，同时最小化到中心枢纽点的加权距离。该耦合公式自然地模拟了需要同时优化内部环形连接与径向枢纽访问的系统，例如供应链设计、交通规划和通信基础设施。利用现代凸分析工具，作者在集合有界且处于一般位置的假设下证明了最优解的存在性，并在约束集严格凸且权重为正时证明了唯一性。通过次微分计算，推导了一阶必要和充分最优性条件。为进行计算，开发了投影次梯度算法，并在经典递减步长规则下证明了最佳迭代序列的收敛性。在 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 中的数值算例验证了算法在不同几何形状和权重方案下的鲁棒性。
优化理论凸分析几何优化算法收敛供应链设计投影次梯度法
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03-03 00:00
本文提出了一种求解对称旅行商问题（TSP）的精确新方法。该方法摒弃了传统的“选择边以构成回路”的思路，转而采用“构建曲面”的视角：通过选择一组相连的三角形，使得该曲面的边界恰好构成所需的旅行商回路。由此导出了一个混合整数线性规划（MILP）模型，其中通过树约束保证全局连通性，并利用欧拉示性数约束保证每个顶点的局部连通性，从而无需传统的子回路消除约束。该模型在理论上对所有三角形集合是精确的，尽管计算上仅适用于极小规模问题。在实际应用中，当将候选三角形集限制在稀疏的Delaunay三角剖分时，它提供了一个紧凑且有效的启发式算法框架。
旅行商问题曲面构建混合整数规划欧拉示性数delaunay三角剖分组合优化