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今日看点（自动摘要）：math: 泊松变换的精确映射性质与Baum-Connes猜想获突破；math: 自由群中回文长度的新刻画：2与3长度单词的完整分类；math: Kreiss常数接近1的算子性质研究：幂增长下界与相似收缩算子条件
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本研究证明了实秩为一的半单李群上泊松变换在分布层面上的精确、定量性质：它将P\G上的Sobolev空间有界且闭值域地映射到K\G上的L²空间。该结果针对Knapp-Wallach研究的Szegő映射型泊松变换，并利用van Erp-Yuncken的海森堡演算定义恰当的Sobolev空间。证明进一步推广，表明该变换与Furstenberg紧化上光滑函数的交换子是紧算子，从而完成了Julg纲领中为实秩为一半单李群闭子群建立Baum-Connes猜想的最后一步。
本文研究了自由群中单词的回文长度问题。回文长度定义为将单词分解为最少回文因子的个数。与自由半群不同，自由群中因存在逆元，分解更复杂。作者首次完整刻画了回文长度为2和3的所有单词，为理解自由群中这一组合不变量提供了关键理论工具。
本文研究满足Kreiss条件且常数K可任意接近1的矩阵与算子。主要贡献包括：为这类矩阵的幂增长提供了精确的下界估计，改进了Nikolski与Spijker等人的相关结果；同时，研究了一类Kreiss条件的变体，其中常数被替换为趋于0的函数ε(|z|)。证明若算子的谱仅与单位圆交于单点且预解式满足特定增长限制，则可选取合适的ε使得该条件保证算子与压缩算子相似。证明核心基于双层位势算子的正性论证，并提供了关于ε选择限制的反例。
本文针对用于建模社会现象的动力学方程提出了一种全新的确定性数值解法。这类方程的核心挑战在于其转移率核包含描述状态突变的狄拉克δ函数。研究不仅证明了此类系统解的存在唯一性，还创新性地提出了“质量守恒配置法”。该方法能高效、高保真地模拟包含多达五个子系统的复杂模型，在数值上严格保持质量守恒。与先进的基于智能体的随机方法相比，新方案能以显著更少的计算时间和资源，获得一致的子系统分布结果，且无需进行随机方法的变异性处理和超参数调优。
本文提出了一种名为“孪生空间”的统一框架，用于基于离散群轨道上的核传输进行非参数函数估计。通过一个基础核和等距群作用，构建了传输核层次结构和满足Kraft不等式的惩罚模型选择方案。主要贡献包括：建立了具有显式常数的惩罚孪生核估计量的非渐近Oracle不等式；引入了捕捉群轨道平滑度的新型孪生正则性类，并证明估计量能自适应于这些类；展示了该框架在欧几里得设置中恢复经典极小极大最优速率，同时当目标函数呈现轨道结构时能实现改进的速率。有效维度由商群G/L表征，其中L是保持基础运算的子群。
本研究为局部正则性随自身状态动态调整的随机过程建立了一套完整的数学理论。首先严格分析了一类具有确定性Hölder连续Hurst指数函数的时变分数布朗运动，建立了其方差标度律、局部增量渐近、局部非确定性等关键性质。进而定义了一类新颖的响应式分数布朗运动，其Hurst指数由依赖于过程状态本身的响应函数控制，形成了状态与记忆之间的内在反馈机制。研究证明了该定义的适定性、诱导瞬时标度指数的路径Hölder正则性，并分析了相关的累积记忆过程及其渐近收敛。该数学结构自然地导出了一个连续时间、路径依赖的注意力机制，为自适应记忆和内容敏感信息处理的核心概念提供了随机过程理论框架。
本文提出了一种针对现代计算架构（特别是GPU）高效计算Boys函数F0至Fk_max的新算法。该方法将有理极小极大逼近与向上/向下递推关系相结合，将非负实轴划分为三个区域，分别采用有理逼近和渐近逼近处理。该方案避免了查找表和不规则内存访问，非常适合高吞吐量、低延迟的硬件。算法以5e-14为目标最大绝对误差，并为F0至F32提供了相应的逼近区域和系数。
本文提出了一种名为TwinKernel的非参数估计方法，用于估计点过程的强度函数。该方法结合了TwinKernel框架和计数过程的鞅技术，能够自适应地利用强度函数的轨道正则性。通过将核函数沿着循环群轨道进行传输，构建了一系列平滑的Nelson-Aalen型估计器。研究建立了估计器的一致性和最优收敛速率，并实现了对未知光滑度的自适应选择及边界偏差的自动校正。该方法在随机删失下的风险率估计中具有应用潜力，例如处理由昼夜节律、季节效应或治疗计划引起的周期性结构。模拟研究表明，当强度函数具有轨道正则性时，其性能比经典核估计方法提升3-7倍。
本研究探讨了定义在Z_m^r上的δ函数（仅在零点取值为1，其余布尔点取值为0）在傅里叶基下的最小稀疏度问题。该问题与匹配向量私有信息检索（PIR）方案中的S解码多项式构造直接相关。研究通过初等简洁的方法，给出了δ函数傅里叶稀疏性的非平凡上下界。结果表明，仅通过优化S解码多项式，无法使基于已知匹配向量族的PIR方案在常数服务器数量下实现多对数通信复杂度，从而揭示了此类方案的根本性改进限制。
本文提出了一种混合计算方法，将有限元法与最小二乘支持向量回归相结合，用于求解偏微分方程。该方法利用有限元法提供节点解，并采用高阶勒让德多项式核的LSSVR来生成节点间插值的闭式解析解。该混合方法实现了对给定数值解的元素级增强（超分辨率），在保持与有限元节点值一致的同时，获得了高分辨率精度。它能够适配任何低阶有限元代码，通过利用局部核细化和并行计算来获得高阶分辨率，而无需额外的实现开销。评估结果表明，与基础有限元解相比，混合方法能实现显著更高的精度。
本研究在非线性框架下，探讨了与满足类预解条件的非扩张映射族相关的广义粘性逼近法的渐近行为。通过应用证明挖掘方法，获得了W-双曲空间中渐近正则性的定量结果，以及在CAT(0)空间中元稳定性的收敛速率。该工作为相关优化算法的收敛性提供了严格的数学保证。
本研究提出了一种基于体积保持平均曲率流的动力学方法，用于证明尖锐的Berezin-Li-Yau不等式。通过建立边界谱密度与平均曲率之间的几何关联不等式，并证明Riesz均值沿该流单调非减，最终利用流收敛于球体这一性质，为所有光滑凸域建立了该不等式的尖锐形式。该方法还导出了一个关于特征值平均的尖锐动力学Cesàro-Pólya不等式。
本研究建立了一种新的数学理论，将经典的实代数几何推广到更一般的域扩张情形。当实闭域R包含一个有序子域K（如K为有理数域Q）时，研究者系统研究了R^n中由K系数多项式定义的K-代数集。与复代数几何不同，实情形下希尔伯特零点定理不再成立，导致新的几何现象。该理论为证明纳什-托格诺利定理的强化版本提供了基础：任何紧致光滑流形都可微分同胚于一个由有理数定义的非奇异代数集，首次实现了仅用有限精确数据对光滑流形的全局与局部编码。
本研究将经典的Pólya-Hurwitz部分分式方法推广到q-分析领域，用于研究由Jackson第三类q-Bessel函数定义的有限q-Hankel变换的零点分布。新方法作为原技术的q-对应物，显著放宽了先前结果中对参数q的严格限制条件。研究利用q-Hankel变换的q-型采样定理，直接导出了q-部分分式展开，并建立了多个实验示例验证方法的有效性。
本文提出BISTRO框架，用于解决不确定性下的高计算成本优化问题。该方法创新性地结合了低精度模型的曲率信息和随机空间的关联性，通过信赖域方法快速收敛至高精度模型的局部最优区域，再切换至方差缩减的随机梯度下降进行精细优化。理论分析保证了期望收敛性和最优的收敛速率。在基准问题和20维航天器再入案例中，BISTRO相比自适应采样和方差缩减方法，计算成本最高可降低29倍。
本文介绍了Cyqlone，一种专为具有阶段式最优控制结构的线性系统设计的求解器。它通过统一顺序Riccati递归、并行Schur补方法和循环约简方法，在最小化浮点运算次数的同时，充分利用现代硬件的多级并行性。在足够并行资源下，求解时间随预测时域长度的对数增长，实现了长时域问题的实时求解。基于此开发的二次规划求解器CyQPALM，相比现有方案HPIPM获得了数量级的速度提升。
本文为纪念丘成桐75岁诞辰的微分几何综述特辑而作。文章重点回顾了作者们近年来与Tong、Song、Sturm合作获得的一系列关于Monge-Ampère方程的新几何不等式与估计。这些成果本质上依赖于丘成桐解决卡拉比猜想的工作，该猜想本身也即将迎来50周年。文章同时简要概述了丘成桐近期开创的复几何多个前沿方向。
本研究证明了独立Steinhaus随机变量（复平面上单位圆均匀分布）和的负矩的精确上界。结合König-Kwapień (2001)、Baernstein II-Culverhouse (2002)和König (2014)的系列工作，完整解决了Steinhaus和的L_p-L_2型Khinchin不等式的精确刻画。研究同时修正了早期论文中的错误，并提供了在Rényi熵精确界方面的应用。
本文旨在对代数曲线的约化类型进行系统分类。约化类型捕捉了一维曲线族中纤维的离散不变量，此前已在亏格1、2和3的情形中得到描述。对于固定亏格g>1，约化类型构成有限多个族。研究解释了如何构造这些族，并引入了一种命名约定，为高亏格曲线的算术几何研究提供了新的工具和框架。
本研究将分层混合维椭圆方程的后验误差估计方法，从匹配网格推广至非匹配网格场景。核心创新在于引入了平面子域与界面网格间的转移网格，并构建了针对势变量与通量变量的稳定离散投影算子。所提出的非匹配网格误差估计器不仅完全可计算，且具有理论保证。基于三维裂隙多孔介质不可压缩达西流社区基准的数值实验表明，该估计器在非匹配网格上性能可靠，其有效性可与匹配网格下的估计器相媲美。
本文系统回顾了计算导数的各类数值方法，旨在帮助科学家和工程师根据具体问题选择最合适的算法。文章不仅比较了不同方法的相对优势和适用条件（如处理噪声、边界约束的能力），还阐述了其数学理论基础。为方便应用，作者同时提供了一个开源Python工具包PyNumDiff，集成了多种适用于噪声数据的微分算法。
本研究利用局部Banach空间理论中的不变量，探讨了在复空间完全Reinhardt域上向量值全纯函数与算子值多重调和函数的Bohr定理。结果表明，相关的Bohr半径始终严格为正，并分别在有限维与无限维情形下获得了其渐近行为。该框架将经典的Minkowski空间情形作为特例包含在内，并适用于包括混合Minkowski空间、Lorentz空间和Orlicz空间在内的广泛Banach序列空间。此外，研究还建立了完全Reinhardt域上算子值多重调和映射的系数型Schwarz-Pick引理。
本文系统研究了一类由指数函数和幂函数系数微分算子生成的新型非交换代数——Weyl型和Witt型代数。核心贡献包括：建立了指数多项式环的自同构群结构；证明了有限伽罗瓦作用下的不动点子代数可恢复原始Weyl型代数；揭示了该代数不存在有限维单模；构建了完整的表示理论框架，包括不可约权模分类、具有BGG型分解的Harish-Chandra模构造，以及范畴O的结构分析。这些结果统一并扩展了经典Weyl代数、Witt代数和广义Weyl代数的理论。
本研究提出一种为无源随机接入（URA）引入安全性的新方法。该方法巧妙利用反馈辅助URA的固有特性，在不增加开销、不改变原有结构的前提下，通过物理层技术实现保密通信。每个用户利用基站广播的反馈信号生成私钥和人工噪声，对数据进行加密和掩蔽。仿真结果表明，该方案能在几乎不影响标准性能的情况下，为URA提供有效的安全保障。
本文系统综述了双曲及相关系统中保持不变域的高阶数值方法。双曲系统的可容许状态构成凸不变域，数值计算中违反该域会导致双曲性丧失，引发数值不稳定。文章首先回顾了一阶精度格式中建立不变域保持性质的基本方法，涵盖有限差分、有限体积、有限元和残差分布法。重点聚焦于近十年发展起来的两类主流高阶IDP方法：一类基于寻求高阶格式的弱IDP性质，再设计多项式限制器在关注点强制强IDP性质，适用于高阶有限体积和间断伽辽金格式；另一类基于通量限制方法，源自通量校正传输法，可适配更广泛的离散格式，包括有限差分和连续有限元法。文中通过气体动力学和磁流体动力学的算例阐明了IDP格式的构造思想。
本研究提出了一种结合神经网络与有限元法的混合方法，用于求解计算成本高昂的粘塑性海冰动力学模型。该方法利用神经网络在局部网格块上学习高分辨率模拟的细尺度修正，并将其应用于粗网格有限元近似中。数值实验表明，该方法能以约11倍的计算成本降低，获得与高分辨率模拟相近的精度，同时使牛顿求解器加速高达10%。
本研究证明了具有Fisher-Hartwig奇异性的二维Toeplitz行列式的渐近公式，并将其应用于具有复谱的随机正规矩阵。主要成果包括：证明了特征多项式在亚临界相中收敛于极限液滴上的高斯乘性混沌随机测度；电势逐点收敛于对数相关场；识别了其水平集（厚点）的测度；揭示了关联自由能经历冻结相变。这确立了二维自由费米子中刘维尔量子引力测度的涌现，并证明了其关于外势的普适性。
本文研究了定义在凸多面体闵可夫斯基泛函下的点到区域边界的距离函数的正则性。作者在特定情况下获得了该距离函数的正则性结果，并通过一系列示例显式计算了距离函数，揭示了此类距离函数中涌现的新颖数学现象。
本研究证明，对于拟阵中的任意元素，总可以通过删除或收缩操作将其移除，且在此过程中不会导致任何“缠结”发生分裂。这一结果为拟阵理论中的结构操作提供了新的理论保证，有助于简化复杂拟阵的分析与分解过程。
本文研究了在余半单但非半单的霍普夫代数H上，Nichols代数𝔅(V)的玻色化（即提升或变形）的分类问题。作者引入了一个新的代数结构T(V)#_M H，它推广了标准的玻色化T(V)#H，并证明了每个提升都是某个T(V)#_M H的商。通过这一“支点”，作者将提升问题转化为余循环变形问题，并复现了已有策略以证明所有提升都是𝔅(V)#H的余循环变形。研究通过特征2下的Fomin-Kirillov代数FK₃和𝔰𝔩(2)的Jordanian包络代数两个具体例子进行了阐释。
本文证明了b-素平直完全增广链环的（保向）对称群恰好对应于三维正交群O(3)的所有有限子群。研究的关键在于建立了一个字典，将链环关联的3-连通平面三次图的同构，映射为链环本身的保向对称性。该工作还提供了一种简洁方法，可为O(3)的任意有限子群G，显式构造出无限类不同的b-素平直完全增广链环，使其补空间对称群与链环对称群均同构于G。
本研究探讨了斜五角星映射的动力学行为。作为经典可积五角星映射的推广，斜映射通过交截不同长度的对角线作用于多边形。论文引入格点映射的首个动力学度概念，证明了特定斜五角星映射具有指数级的度增长且无守恒纤维，其动力学度可达4，而经典等长映射的动力学度为1，这为判定其不可积性提供了严格依据。
本文在八元数开单位球上的切片正则函数类中，首先建立了Cesàro算子的Bohr定理。随后，证明了Bernardi算子的Bohr型不等式，并由此推导出Libera算子和Alexander算子的相应结果。最后，将结论推广至离散Fourier变换和离散Laplace变换等特定积分变换，所有结果均被证明是精确的。
本文提出了一种比较任意无限集合的新方法，不仅涉及基数比较，还引入了其他构造，形成了作者所称的“完全性”集合比较。研究重点探讨了如何利用外测度，在度量空间X的子集与其幂集P(X)的子集之间建立一种具体的比较关系，为无限集合的比较提供了新的度量视角。
本研究基于1975年Bailey提出的经典连续系统，构建了一个在量子时间上定义的新型SIR模型，其时间演化由非均匀时间网格控制。研究推导出了模型的显式解析解，并分析了易感者、感染者和移除者的长期行为。同时，证明了该模型与其连续对应模型保持动态一致性，这体现在解的非负性及其与连续动力学定性相符的特性上。所有结果均通过示例得到进一步验证。
本文分享了2022年秋季至2025年春季在本科数学课程中实施的一种以学习者为中心的教学常规。该方法包含四个步骤：开场提问、关于核心概念的简短微讲座、结构化的小组合作学习，以及课末的简短出口检查（有时辅以快速视觉辅助）。该方法主要应用于初级统计学课程，并在微积分和线性代数中有所尝试。实践证据基于教师笔记、一分钟出口检查、非正式学生反馈、问卷调查及会议反馈。结果表明，该方法减少了被动讲授，增加了学生的可见参与度，并在课堂结束时促进了学生解释自身推理的过程。局限性在于仅为单一教师的实践，缺乏对照比较。未来计划针对不同学生群体改进提示问题并简化视觉辅助材料。本文提供了一个简单、可调整的常规与时间框架，供其他教师借鉴。
本研究在放宽经典光滑性假设的条件下，探讨了Chébli-Trimèche超群上卷积代数第二对偶的Arens积。通过建立新的渐近分析工具，将渐近测度ν_x和极限测度ν_∞的存在性与连续性推广到更广泛的超群类。研究给出了L^1(H)强Arens不规则性的新充要条件，首次详细比较了非经典超群左右拓扑中心，并在Jacobi、Naimark等具体超群上得到应用。
本研究基于毕达哥拉斯音阶的数学定义（形式为 3^b/2^a 的有穷数列），深入探讨了衡量音阶“均匀性”的“两步性质”。论文首次完整刻画了所有满足该性质的毕达哥拉斯音阶。引人注目的是，这一数学上“最均匀”的音阶列表，恰好包含了音乐理论中广为人知的5音（五声音阶）、7音（自然音阶）和12音（半音阶）体系，为这些经典音阶的数学合理性提供了精确证明。
本研究提出了一种计算黎曼ζ函数非平凡零点分布的新数值框架。该方法摒弃了传统的Gram点定界法，采用临界线的实复参数化，结合高精度Hardy Z函数评估与Riemann-Siegel公式，开发出“谷扫描”算法。该算法利用Z函数的“山-谷”几何结构定位局部极小值，并通过牛顿迭代进行精化。研究实现了从低零点到高达1e20高度的计算，验证了零点间距与Riemann-von Mangoldt预测的一致性，并公开了所有数据集与可复现材料。
本研究推导了光滑巴拿赫空间中鞅序列范数最大值的Fuk-Nagaev不等式，适用于具有有限高阶条件矩的情形。通过结合Rio（2017）的Chernoff界优化方法与Pinelis（1994）的光滑巴拿赫空间范数矩母函数经典界，获得了精确的常数并去除了不必要的中心化项，改进了现有无限维界限。作为应用，提出了适用于向量值函数的McDiarmid型界限，其条件高阶矩具有一致上界。
本研究聚焦于广义Robertson类函数（α-星形β阶函数）的几何性质。核心贡献在于，针对该类函数，精确推导了其Schwarzian导数和前Schwarzian导数的范数上界，这些界由函数的初始系数（特别是零初始系数这一重要情形）表达。同时，论文建立了该类函数的精确畸变定理与增长定理，并解决了其半径问题，确定了精确的凹性半径与凸性半径。
本文研究了有限域上系数位于固定仿射代数集中的首一不可约多项式的计数问题。通过建立误差界，精确刻画了此类多项式的数量与代数集几何结构之间的关系，为数论与代数几何的交叉研究提供了新的定量工具。
本文指出，发表于《数学分析与应用杂志》2026年的三项关于数值级数下界的定理，其现有证明过程仅为形式推导。作者通过初等微积分方法，为这些定理提供了更基础、更严谨的证明框架，揭示了其核心数学本质，简化了理解路径。
本文指出，对于拟簇而言，一个自然的同余可换性概念（即其所有代数上的同余关系都是可交换的）实际上蕴含了该拟簇本身就是一个簇（即由等式定义的代数类）。这一结论可直接从已有文献[3]中得出，本文旨在明确陈述这一事实，并提供一个极其简短的证明。
本文提出了一种基于动态机动提示（DMC）的实时反应式车辆制导方法。该方法通过解析表达式计算车辆为规避动态威胁区域所需的最小转向量，以此量化风险，并可直接用于机载实时执行。研究将DMC约束应用于简单反馈控制器和模型预测控制器（MPC），后者性能更优但需在线求解优化问题。该方法可扩展至同时处理多个威胁区域，且计算复杂度增加极小，为对抗性威胁环境下的保守型碰撞规避提供了新思路。
本文研究带边电导的有限简单无向图，提出一种加权Nash-Williams密度函数A_c(G)。该函数在c≡1时退化为经典密度，具有同构不变、子图单调、正齐次和凸性等性质。作者证明了该密度的全局上下界，并引入局部变体，利用环境网络中的有效电阻推导出电导-电阻不等式。此外，研究揭示了该密度在边不相交并运算下的代数行为：它构成一个交换幂等幺半群，且A_c(G)关于该运算是幂等的。
本文提出并分析了一类用于解决资源感知、无模型优化问题的事件触发极值搜索算法。通过利用混合系统李括号平均化的最新进展，研究证明了所提出的控制器可被表述为具有良好适定性的多时间尺度混合系统，并满足关键的正则性、稳定性和鲁棒性。算法通过引入低通滤波器并精心设计混合系统的流集与跳集，解决了探索与利用的内在耦合问题，使得最优解具有半全局实际渐近稳定性，且解具有一致的半全局驻留时间。研究还展示了如何修改事件触发方案以利用传统平均化工具进行分析。数值模拟验证了理论结果。
本研究探讨了皮亚诺算术及其片段在模型论中的“紧致性”与“坚固性”等性质。研究证明，对于任意n，在IΣn与PA之间存在既是坚固的、又是紧致但不整洁的理论。这回答了Enayat关于PA是否存在真坚固子理论的问题，并进一步分离了与紧致性相关的不同性质。