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今日数学研究呈现理论与计算深度融合的趋势，覆盖数论、动力系统、组合设计、几何群论及计算数学等多个分支。
今日暂无更新，展示最近一批（2026-03-13，UTC）
本研究通过大规模计算探索，揭示了考拉兹迭代中的两种现象：剩余类的模数扰动和轨迹的爆发-间隙分解。论文证明了若干结构性结果，包括间隙返回映射在高位比特上构成精确双射的模数扰动引理、刻画持久状态后间隙结构的持久退出引理，以及间隙返回动力学下已知二进制表示部分的衰减性质。在模数模型中，间隙长度和2进赋值的分布被证明服从几何分布，而持久运行长度也是几何分布，其期望爆发长度E[B]=2，这些共同预测了轨道的严格收缩。这些结果为建立条件性收敛框架提供了基础，但关键假设仍有待证明。
本文研究了定义在无限维环面 $\mathbb{T}^\omega$ 上的一类特殊动力系统 $T$。该系统由参数 $\alpha \in \mathbb{R}$、$\beta \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ 以及一个 $1$-周期 $C^{1+\varepsilon}$ 光滑函数 $h$ 定义，具有远端性且其 Birkhoff 平均对某些点不存在。论文的主要结果是证明了 Sarnak 的莫比乌斯不相交猜想对该系统 $ (\mathbb{T}^\omega, T) $ 成立，即莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 与系统产生的序列正交。
本文首次系统研究了数论中的高维Prouhet–Tarry–Escott问题（PTE$_r$），通过将其与组合设计理论（研究具有“平衡性”条件的有限集系）建立联系。核心贡献包括：重新审视了非平凡解的定义，证明了其大小的基本下界，并构造了达到该下界的高维极小解，这些解具有独特的区组设计或正交阵列结构。论文还发展了通过组合设计（如区组设计、正交阵列）构造PTE$_r$解的强大方法，并探索了两种升维构造技术：一种是通过将低维解嵌入到$r$列正交阵列中的组合复合；另一种是通过取两个低维解的笛卡尔积的递归技术。这些结果推广了Lorentz (1949)、Alpers与Tijdeman (2007)、Jacroux (1995)以及Matsumura与Sawa (2025)关于Borwein解及其二维扩展的诸多先前工作。此外，论文还刻画了PTE$_1$理想解的特征，并讨论了与组合设计或球面设计理论中鲜有报道的“半整数设计”现象的联系。
本文在 Andrews 和 Dastidar 定义的函数 $SOME(n)$（即 $n$ 的所有普通分拆中奇数部分之和减去偶数部分之和）基础上，引入了其超分拆（overpartition）版本 $\overline{SOME}(n)$。作者利用经典的 $q$-级数恒等式，以及无穷乘积与和的技巧，推导出了 $\overline{SOME}(n)$ 的生成函数，并证明了该函数模 $3$、$5$ 以及 $2$ 的幂次的一系列同余性质。这项工作将经典分拆函数的奇偶和差研究推广到了超分拆领域。
本研究针对经典的海伦布伦三角形问题，开发了一个“先优化后精化”的计算框架，将全局混合整数非线性规划与精确符号计算相结合。通过新颖的对称性破缺策略和行列式结构性质的利用，构建了更强的优化模型：对于n=9个点的情况，可在标准台式机上15分钟内完成全局最优性认证，效率比之前方法提升一个数量级以上。结合数值证明与精确符号计算，首次严格证明了Comellas和Yebra于2002年发现的n=9点构型是全局最优的，并给出了n=5至9所有最优构型的精确坐标。分析发现，非关键三角形面积倾向于聚集在少数几个值附近，这为极值点集的组合几何研究提出了新问题。
本文研究有限生成群 $G$ 及其自同构 $\varphi \in {\rm Aut}(G)$ 或外自同构 $\phi \in {\rm Out}(G)$ 的增长行为。当 $G$ 可以分解为更简单的群结构（如直积、自由积或图群）时，作者探讨了如何从这些子结构上已知的自同构增长信息，推导出整个群 $G$ 上自同构增长率的方法与结论。
本文研究了有限展示群 G 在 ℝ-树 T 上的极小作用。在假设 G 关于 T 的弧稳定子族可及的前提下，作者利用单纯树给出了 T 的点稳定子群的描述。一个关键结论是，这些点稳定子群是有限生成的。该结果在几何群论中有重要应用，特别是为研究右扭 Artin 群和特殊群的自同构提供了新工具。
传统涡粘模型通过引入湍流粘度系数模拟湍流效应，但常因过度耗散而需额外修正。本文提出一种新方法：通过求解多个带扰动数据的Navier-Stokes方程（NSE）的集合，直接计算湍流粘度参数化。该方法复杂度较低、精度更高，且能准确捕捉近壁区渐近行为。研究重点探讨了该集合涡粘方法是否仍存在过度耗散问题，为湍流模拟提供了更简洁有效的参数化途径。
本研究将保形e预测方法扩展到存在观测混杂变量的场景。论文考虑了两种数据情况：一种是观测数据独立同分布（IID），另一种是允许观测之间存在一定依赖关系。该方法通过处理随机对象$X$与其标签$Y$之间的观测混杂，增强了预测模型在复杂现实数据中的适用性和可靠性。
本研究通过数值验证方法，构造了一个非平凡实值二维周期势，其对应的离散薛定谔算符与零势算符是费米等谱的。这一结果否定了关于二维情形下费米等谱具有刚性的猜想，同时也推翻了Gieseker、Knörrer和Trubowitz在1990年代提出的猜想，即对于任何非平凡的二维实值周期势，其费米簇在所有能级上都是不可约的。
本研究为非线性偏微分方程的指标理论和解析挠率建立了一个统一的微局及导出几何框架。通过整合 Spencer 超上同调、微局层理论和因子化代数，作者建立了经典指标定理、Calabi-Yau 流形的 BCOV 不变量以及构型空间几何之间的新联系。主要成果包括：证明了形式可积 PDE 族的层论指标公式；推广了 Atiyah-Singer 定理的 D-代数微局指标定理；构造了对合系统的 Ray-Singer 解析挠率，并证明 BCOV 不变量等于 de Rham 系统的 Spencer 挠率。该理论进一步通过因子化代数推广至构型空间，在重整化和量子场论中有应用，为镜像对称、量子场和 Calabi-Yau 退化等几何问题提供了统一视角。
本文研究了矩阵代数上的k-Kadison-Schwarz (k-KS) 映射，并推导出确保两类由单个k-正映射参数化的映射具有k-KS性质的显式条件。该工作为在算子代数框架下构造和分析满足特定正性及收缩性质的映射提供了新的理论工具。
本文系统研究了与给定李代数（特别是复数域上的半单李代数）相关的预李结构的容许性问题。重点探讨了非结合李容许代数中的反柔性代数（AFA）类，证明了其几何结构比左对称代数（LSA）或右对称代数（RSA）对应的平坦无挠仿射联络更丰富。研究给出了AFA的容许性判据，并构造了$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$容许AFA的显式反例。最终证明了$S_3$-结合代数是任意复数域李代数（包括半单李代数）的普适预李结构。
本文研究了齐次树上连续时间热核及热方程解的长时间渐近行为。首先推导了热核当 $t\to\infty$ 时的精确渐近公式。其次，利用这些公式证明了具有加权 $\ell^1$ 类初值的解在 $\ell^p$ 范数（$p\in[1,\infty]$）下渐近分解为热核与一个依赖于初值和 $p$ 的 $p$-质量函数的乘积。该质量函数在 $p<2$ 时由与Busemann函数相关的边界平均描述，在 $p\ge 2$ 时则通过卷积与球面基函数表达。与整数情形对比表明，后者的渐近行为由单一常数质量决定，凸显了图几何结构对热扩散的影响。
本研究提出了一种集成建模框架，用于解决多孔介质中考虑克林伯格滑移效应的非线性气体流动问题。该框架结合了克林伯格增强本构关系、Hopf-Cole 变换后的混合形式线性控制方程、共享主干神经网络架构以及深度最小二乘求解器。Hopf-Cole 变换将原始非线性流动方程转化为与达西模型密切相关的等效线性系统，而混合公式与神经网络架构相结合，能够同时准确预测压力场和速度场。研究还进行了严格的理论和数值收敛性分析，并展示了该框架在从有限观测数据中反演压力依赖的渗透率和滑移参数方面的能力。数值结果表明，该方法在广泛的压力范围内都能准确恢复流动动力学和参数，具有鲁棒性、准确性和计算高效性。
本研究对冯与王在《Advances in Mathematics》2009年论文中提出的“公开问题1”给出了肯定解答。该问题涉及齐次迭代函数系统（Homogeneous IFS）的对称性猜想，是分形几何与动力系统交叉领域的重要理论问题。这一突破性进展为相关数学结构的对称性分析提供了坚实的理论基础。
本文证明了Alekseyev等人提出的关于立方二项式和的3-adic赋值猜想。该猜想涉及形如 $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^3$ 的和式，研究其在3-adic赋值 $\nu_3$ 下的精确行为。证明过程运用了数论与组合恒等式技巧，为相关算术性质研究提供了新结论。
本文研究了负折射率材料中存在能量损耗时的远场折射问题，解决了E. Stachura在2017年提出的遗留问题。根据相对折射率$\kappa$的不同（$\kappa<-1$或$-1<\kappa<0$），分析分为两种情况。对于每种情况，当目标测度为离散或有限Radon测度时，作者利用闵可夫斯基方法建立了弱解的存在性。最终，推导出问题解所满足的、涉及Monge-Ampère型算子的不等式，这有助于理解这一复杂的光学现象。
本文提出了一种基于p进数域的矩阵分解优化问题，并探讨了一种类似于主成分分析（PCA）的启发式求解方法。该方法将经典的PCA框架扩展至p进数域，为处理具有p进结构的复杂数据提供了新的数学工具与理论视角。
本文通过分析独立同分布指数随机变量最大值的对数方差，证明了一个涉及交替二项对数和的数学不等式。该不等式源于作者先前关于第二类斯特林数与独立收集过程最小值的研究工作，为相关概率论问题提供了新的分析工具。
本文旨在解释K3曲面上的一系列枚举几何结果，无需读者具备Gromov-Witten理论背景。这些结果源于Beauville、Bryan-Leung、Pandharipande、Maulik-Thomas等人的工作，证实了Yau-Zaslow、Göttsche以及Katz-Klemm-Vafa提出的著名猜想。笔记系统梳理了K3曲面中曲线计数的核心理论与计算方法。
本文针对实环面曲面，在共轭点对位于边界除子上的条件下，证明了任意亏格的实曲线在点条件变化下的符号计数不变性，前提是其约化热带化处于一般位置。核心贡献是构造了一个新的相对精细热带不变量，它在点条件变化下保持不变，并在参数 $y \to -1$ 时退化为上述实曲线符号计数，在 $y \to 1$ 时则恢复为具有规定边界切触条件的复曲线计数。研究还扩展了不变量以允许任意的边界切触阶，并确定了其复对应极限。最后，文章指出在正亏格情形下，若允许共轭点对位于内部，即使有强一般性假设，实符号计数也不再具有不变性。
本文系统回顾了度量维数在拟共形、拟对称及Sobolev映射作用下的畸变理论。从Gehring (1973) 的拟共形映射高可积性定理及其对Hausdorff维数的影响出发，到Astala (1994) 对平面高可积性猜想的解答推动了二维理论的发展。文章进一步涵盖了2000-2010年代关于Sobolev映射维数畸变的结果，包括参数化子族中一般元素的维数增长估计。在抽象度量背景下，Pansu的共形维数作为关键的拟对称不变量，在众多领域得到应用。最后介绍了作者与合作者的最新工作，将理论推广至插值维数，为拟共形分类与共形维数提供了新见解。
本文研究了辛奇点上的极大Cohen-Macaulay层，这些层生成奇点范畴，可用于度量奇点与光滑性的距离。作者将奇异簇上的极大Cohen-Macaulay层提升到其解消上的自反层，并利用格罗滕迪克对偶研究其上同调消失性。以解消 $T^*\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathcal{N}_{3,1}$（其中 $\mathcal{N}_{j,k}$ 表示秩至多为 $k$ 的 $j\times j$ 幂零矩阵簇）为例，详细刻画了 $T^*\mathbb{P}^2$ 上其推前映射为极大Cohen-Macaulay的自反层，并利用 $\mathbb{P}^2$ 上的消失定理构造了 $\mathcal{N}_{3,1}$ 上的许多不可分解极大Cohen-Macaulay层。该构造进一步推广至 $T^*\mathbb{P}^n \to \mathcal{N}_{n+1,1}$ 的情形。